De acuerdo con los fundamentos del álgebra resolver

Veamos si sale algo, elevando la expresión al cubo...

$$\begin{align}&x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}\\&(x + \frac{1}{x})^3 = (\sqrt{5})^3\\&\text{Desarrollo el lado izquierdo}\\&x^3+3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3\cdot x \cdot \frac{1}{x^2}+ \frac{1}{x^3} = (\sqrt{5})^3\\&Acomodando...\\&x^3+3 \cdot x + 3 \cdot \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^3} = (\sqrt{5})^3\\&Sigo\ acomodando\\&x^3+ \frac{1}{x^3} +3 \cdot (x +  \frac{1}{x}) = (\sqrt{5})^3\\&\text{Uso la primer definición}\\&x^3+ \frac{1}{x^3} +3 \cdot (\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^3\\&Despejo\\&x^3+ \frac{1}{x^3} = (\sqrt{5})^3 - 3 \cdot (\sqrt{5})\\&x^3+ \frac{1}{x^3} = \sqrt{5} \cdot ((\sqrt{5})^2 - 3 )\\&x^3+ \frac{1}{x^3} = 2 \sqrt{5}\end{align}$$

Salu