Teorema sobre biyectividad de la composición

Por supuesto que es posible tal composición

$$\begin{align}&f:A\to B \wedge g:B\to C \text{ La composición $f$ con $g$ es escribe $g \circ f$ y se define}\\&\\&(g\circ f)(x)=\left\{y\in \text{Ran }g~|~ \forall x\in\text{Dom }f,\exists z\in \text{Ran }f\cap \text{Dom }g~\wedge ~y=g(z)\right\} \end{align}$$

Ahora la composición f o g pueda que no exista, si hacemos que los conjuntos A y C sean disjuntos

Qué tal. Gracias por tu respuesta.

Creo que no me explique bien. Una disculpa. La pregunta es, que si se cumple que la biyectividad de las funciones f que va de A a B y g que va de B a C implica que siempre existe la función (g o f) que va de A a C; es decir, para cualquier f y g biyectivas así definidas que se desee tomar.

Por definición y la hipótesis del problema la composición g o f siempre existe, la pregunta es si tal composición es biyectiva. Entonces demostrémoslo por reducción al absurdo, supongamos que (g o f) no sea biyectiva en A --> C

De esto supongamos dos cosas

1) Que g o f no esté definida, (g o f)(x) = indefinido, es decir x ∈ Dom (f) tal que x no tenga correspondencia en C. Como x ∈ Dom (f) = A entonces existe un y ∈ Ran(f) = B tal que y = f(x), por la biyectividad de la función g, siempre existe un z ∈ Ran(g) = C, que cumple

                                                            z = g(y) = g(f(x)) = (g o f)(x)

Por ende entramos en contradicción

2) Que (g o f )(x) = z, donde z ∉ C. Por ser f biyectiva, siempre existe un y ∈ B tal que y = f(x), por la biyectividad de g, siempre existe un z'∈ C tal es que z' = g(y), o sea (g o f)(x) = z' entrando así en conflicto con la definición de función, por ende una contradicción.

En ambos casos, al suponer que (g o f) no sea biyectiva entramos en contradicción. Con eso probamos que (g o f) es biyectiva si f y g también lo son. Lo recíproco no siempre es cierto.

Aunque aun podemos expandir los casos a dos más, (3) que (g o f) sea solo inyectiva, (4) que (g o f) sea solo sobreyectiva. La demostración se deduce de las propiedades biyectivas de f y g, es decir que se tiene una demostración directa.

Para cada x en A siempre hay un y en B, y para cada y en B hay un z en C, por transitividad para cada x en A siempre hay un solo z en C

Lo de arriba es solo una sugerencia para presentar una demostración, Ud. debe agregar los detalles.

Creo que estoy a punto de comprenderlo.

¿Si la tesis dice - (g o f) es biyectiva - se da por entendido que dicha composición siempre existe independientemente de que sea biyectiva o no?

¿O más bien debería decirse: si existe (g o f) entonces está composición es biyectiva?