Duda de demostración con palomar de divisibilidad de subconjuntos
Muestre que en un conjunto cualquiera de 21 números enteros positivos existe un subconjunto de 5 números cuya suma es divisible por 5.
Había pensando como que la cantidad de subconjuntos de 5 números es (21,5)= 21!/( 5! ×16!)
Y que tengo x1+X2+..+X5= 5×R
Ya que la suma de cada dígito sería múltiplo de 5
Y después no se cómo podría demostrar.
2 Respuestas
Con el tema de los subconjuntos no sé si podés llegar a algo (ya que ese número que te da sigue siendo muy grande), creo que si estás bien encaminado con la segunda parte del
$$\begin{align}&x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 5R\\&\text{Pero lo que no podés asumir es que cada }x_i \text{ será múltiplo de 5}\\&\text{Creo que acá tenés que empezar a separar en casos, aunque creo que siguen siendo unos cuantos:}\\&\text{Caso 1 (trivial): todos los números son múltiplos de 5}\\&\text{Caso 2: solo 1 número es múltiplo de 5}\\&\text{En este caso entonces deberías ver que entre los 4 que quedan los puedes sumar de dos en dos y }\\&\text{que ambos serán múltiplos de 5 (acá creo que deberías usar el tema del palomar diciendo que entre }\\&\text{20 números siempre pasará eso, -aunque hay que demostrarlo)}\\&\text{Caso 3: 2 números son múltiplos de 5}\\&etc...\end{align}$$Siento no poder ayudarte más, pero creo que la respuesta es bastante más extensa que las "pistas" que damos en este sitio...
Lo que debemos notar es que los residuos de cualquier número entero positivo pertenece a este conjunto {0,1,2,3,4}, entonces podemos replantear la pregunta de la siguiente forma
- Hay m₁ números con residuo 0 (al ser dividido entre 5)
- Hay m₂ números con residuo 1 (al ser dividido entre 5)
- Hay m₃ números con residuo 2 (al ser dividido entre 5)
- Hay m₄ números con residuo 3 (al ser dividido entre 5)
- Hay m₅ números con residuo 4 (al ser dividido entre 5)
Donde m₁ + m₂ + m₃ + m₄ + m₅ = 21
Lo que se busca es un número tal 0m₁ + 1m₂ + 2m₃ + 3m₄ + 4m₅ = 5k
Entonces tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
$$\begin{cases}
m_1+m_2+m_3+m_4+m_5=21\\
m_2+2m_3+3m_4+4m_5=21
\end{cases}$$Cuya solución es
$$\begin{align}&M=(m_1,m_2,m_3,m_4,m_5)\\&\\&M=(21,0,0,0,0)+k(-5,5,0,0,0)+m_3(1,-2,1,0,0)+m_4(2,-3,0,1,0)+m_5(3,-4,0,0,1)\\&\\&\text{En que }k,m_3,m_4,m_5\in \mathbb Z\end{align}$$El hecho que el susodicho sistema de ecuaciones tenga solución sobre los conjuntos de los naturales afirma también que de 21 números naturales (inclusive enteros) podemos elegir 5 de estos cuya suma sea múltiplo de 5.