Quien puede resolver esta de derivada de una funcion para
Como puedo resolver esta derivada paso a paso 4X"2 -16 / X-2 la comilla significa elevado a la 2 tengo dudas y quisiera la repuesta detallada
2 Respuestas
Te dejo estos videos, que aunque no son las mismas cantidades, el procedimiento se hace exactamente igual...
Saludos...
https://www.youtube.com/watch?v=g9_LRYlT0jQ&list=PLr4tGJmaany7_Pugc0_ptGn9rx40jD4TP&index=28&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=qNuKYoKDgq4&list=PLr4tGJmaany7_Pugc0_ptGn9rx40jD4TP&index=24
Puedes usar la regla para la división, o la regla para el producto, como tengo poca memoria, yo solo me acuerdo de la regla de la derivada del producto que es:
(f g)' = f'g + fg'
y aplico eso mientras pueda
$$\begin{align}&f(x)=\frac{4x^2-16}{x-2} = (4x^2-16)(x-2)^{-1}\\&\text{y derivo ahora...}\\&f'(x)=8x(x-2)^{-1} + (4x^2-16)(x-2)^{-2}(-1)\\&\text{Ahora reacomodo todo...}\\&f'(x)=\frac{8x}{(x-2)} - \frac{4x^2-16}{(x-2)^{2}}\\&f'(x)=\frac{8x(x-2)-(4x^2-16)}{(x-2)^{2}}\\&\text{Te dejo hacer las cuentas que faltan...}\end{align}$$Salu2
Esa derivada no se puede rsolver por el método de limites de una función
Si, también se puede, pero en general por límites lo resolvés al principio, luego aplicás las reglas...
Por definición (límite)
$$\begin{align}&\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \\&\lim_{h\to 0} \frac{\frac{(4(x+h)^2-16)}{(x+h-2)}-\frac{(4x^2-16)}{(x-2)}}{h} = \\&Reacomodando...\\&\lim_{h\to 0} \frac{(4(x+h)^2-16)(x-2)-(x+h-2)(4x^2-16)}{h(x+h-2)(x-2)} = \\&\lim_{h\to 0} \frac{(4x^2+8xh+4h^2-16)(x-2)-(4x^3-16x+4hx^2-16h-8x^2+32)}{h(x+h-2)(x-2)} = \\&\lim_{h\to 0} \frac{4x^3-8x^2+8x^2h-16xh+4h^2x-8h^2-16x+32-4x^3+16x-4hx^2+16h+8x^2-32}{h(x+h-2)(x-2)} = \\&\lim_{h\to 0} \frac{4x^2h-16xh+4h^2x-8h^2+16h}{h(x+h-2)(x-2)} = \\&\lim_{h\to 0} \frac{h (4x^2-16x+4hx-8h+16)}{h(x+h-2)(x-2)} = \\&\lim_{h\to 0} \frac{4x^2-16x+4hx-8h+16}{(x+h-2)(x-2)} =\\&\lim_{h\to 0} \frac{4(x^2-4x+hx-2h+4)}{(x+h-2)(x-2)} \to\\&\text{Cuando h tiende a 0...}\\&\frac{4(x^2-4x+4)}{(x-2)^2} = \frac{4(x-2)^2}{(x-2)^2} = 4\end{align}$$De hecho, en la fórmula original si antes de ponernos a derivar, operamos sobre la expresión vemos que:
$$\begin{align}&f(x)=\frac{4x^2-16}{x-2}=\frac{4(x^2-4)}{x-2} = \frac{4(x-2)(x+2)}{x-2} = 4(x+2)\\&\text{En esta última forma de la expresión, es claro que la derivada es 4}\end{align}$$Ojo que si bien las dos funciones tienen la misma derivada (la inicial que te dieron y la última que escribí), en realidad NO son iguales, ya que la última función (f(x)= 4(x+2)) es continua en todo R, mientras que la función original no es continua para x=2
Salu2