Problema de integral doble por coordenadas polares

Esto hace pensar en un cambio de variable como

$$\begin{align}&x=r\cos \theta\\&y=r\sin \theta\\&\\&\text{donde: }r\in [0,1] ; \theta\in [0,\pi]\\&\text{Además el Jacobiano de la transformacion es}\\&\\&\end{align}$$

$$J(r,\theta)=\left|\det\left(
\begin{matrix}
x_r& y_r\\
x_\theta& y_\theta\\
\end{matrix}
\right)\right| = \left|\det\left(
\begin{matrix}
\cos\theta& -\sin\theta\\
r\sin\theta& r\cos\theta\\
\end{matrix}
\right)\right| =|r| = r ~~(\text{ya que }r\geq0)$$

Ahora la integral

$$\begin{align}&\iint_Rx^2(x^2+y^2)^3~dA=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi} r(r\cos^2\theta) ~d\theta~dr=\int_{0}^{1} r^2~dr\cdot\int_{0}^{\pi} \cos^2\theta ~d\theta\\&\\&\iint_Rx^2(x^2+y^2)^3~dA=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \dfrac{1+\cos 2\theta}{2} ~d\theta\\&\\&\iint_Rx^2(x^2+y^2)^3~dA=\dfrac{\pi}{4}\end{align}$$