Anónimo
Puntos de una superficie paralela a un plano
No consigo resolver el siguiente ejercicio aver si alguien puede ayudarme.
Me pide determinar los puntos de la superficie en los que la normal es paralela al plano YZ.
La superficie es: (y+z)^2 +(z-x)^2 =16
Respuesta de Karl Mat
1
$$\begin{align}&\text{La normal de la superficie }f(x,y,z)=(y+z)^2+(z-x)^2-16=0\text{ es paralela a}\\&(\partial_xf,\partial_yf,\partial_zf) \text{ que además debe ser paralela a }(0,p,q)\text{ o sea }\\&\\&\partial_xf=0\to -2(z-x)=0\to z=x=\lambda, \forall \lambda \in \mathbb R\\&\\&\text{Los puntos en la superficie que cumplen tal condición tienen la forma }(x,y,z)=(\lambda,y,\lambda)\in f\\&(y+\lambda)^2=16\to y = \pm4-\lambda\text{ por ende tales puntos son }(x,y,z)=(\lambda,\pm4-\lambda,\lambda)\\&\\&\boxed{(x,y,z)\in\{ (0,-4,0)+(1,-1,1)\lambda: \lambda\in\mathbb R\}\cup\{ (0,4,0)+(1,-1,1)\lambda: \lambda\in\mathbb R\}}\\&\\&\text{Los lugares geométricos de esos puntos son dos rectas paralelas}\end{align}$$Esa es respuesta