Ejercicio optimización con restricciones desigualdad

(b) Primero veamos si la función tiene extremos

$$\begin{align}&*)\text{ Puntos críticos}\\&f_x=2x+y-6=0\\&f_y=x+2y=0\\&\\&(x,y) =(4,-2)\\&\\&*)  \text{ Veamos que clase de punto es }(x,y) =(4,-2)\\&f_{xx}(x,y)=2>0\\&f_{xy}(x,y)=1\\&f_{yy}=2\\&\\&M_2 = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=3>0\\&\\&\text{Entonces }(x,y) =(4,-2)\text{ es un punto de mínimo que pertenece a }[0,5]\times[-3,3]\\&\text{Según el teorema de Weierstrass de las funciones cuyo dominio es un compacto, }\\&\text{en la frontera de la placa rectangular se hallan otros extremos. Los lados se definen asi}\\&\\&L_1: (x,y)=(0,t), t\in[-3,3]\to f(t)=y^2\to f(t)\in[0,9]\\&L_2: (x,y)=(t,3), t\in[0,5]\to f(t)=t^2-3t+9=(t-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{4}\to f(t)\in[\frac{27}{4},19]\\&L_3: (x,y)=(5,t), t\in[-3,3]\to f(t)=t^2+5t-5=(t+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}\to f(t)\in [-\frac{25}{4},24]\\&L_4: (x,y)=(t,-3), t\in[0,5]\to f(t)=t^2-9t+9=(t-\frac{9}{2})^2-\frac{45}{4}\to f(t)\in[-\frac{45}{4},-11]\\&\\&f(4,-2)=-12\\&\\&\text{Mínimo absoluto: }-12\\&\text{Máximo absoluto:  }~~~~\,24\\&\end{align}$$