Método de capas o arandelas calculo de volumen

Al primer ejercicio podemos escribirlo en función de x:

y=√ (x+2);  definida para x>= (-2);

y= √ (6-x);  definida para x <=6.

El cruce de ambas funciones, igualándolas:  x=2.

Al girar alrededor del eje de abscisas quedan definidos los límites:

y=√(x+2);  entre ( -2 y 2);

y=√(6-x);  entre ( 2 y 6).

Usemos el método de arandelas (o fetas o cilindros, en este caso). 

Razonemos el "cilindro diferencial":

El Volumen (V) de un cilindro:  V= π*r^2*h;  para nuestro caso:  r=f(x) o y;  h=dx.  Reemplazo:

dV = π*y^2*dx; quedando una ED de variables separadas (a y lo reemplazaremos por su valor en función de x).

Para hallara el Volumen del sólido (V), sólo debo integrar entre los límites dados:

V = π * [ ∫ (de (-2) a 2) (x+2) + ∫ (de 2 a 6) (6-x) ] * dx;

V = π * { (de (-2) a 2) [(1/2)x^2 +2x]  + (de 2 a 6) [6x-(1/2)x^2] };

V= π *  {  [  6 -  (-2)] + [ 18 - 10] } 

V = 16π  u^3

La segunda consigna, interpreto que es 0 (cero), porque el cruce de ambas regiones se da en (2; 2), no generándose volumen alrededor de y=2. Otra opción es que se haga girar alrededor de y=2 a ambas curvas (de -2 a 2 y de 2 a 6 respectivamente). Si fuera esta última forma, por favor indícalo.

Para la tercera consigna, usemos el método de casquetes, casquillos o bujes.

Supongamos que el sólido está compuesto por infinitos bujes concéntricos, con eje en el eje y.

Volumen del cilindro= πr^2h;  pero como cada cilindro será hueco en el centro, hay que restarle al exterior la medida interior.  En definitiva:  V(buje) = π R^2h - π r^2h;  factorizando:

V(buje) = π*h*(R^2-r^2);  o:  V(buje) = π*h*(R+r)*(R-r);

Vemos que (R-r) = dx;  h=y;  nos queda (R+r).

Si hacemos un promedio entre R y r:  Prom=(R+r)/2;  o:  R+r = 2 Promedio;

Pero como este promedio es igual a x, queda finalmente el volumen diferencial del cilindro:

dV=2π*x*y*dx.  

Para hallar V sólo falta integrar entre los límites solicitados (en este caso entre x=0 a x=1).

V =  2π*∫ (de 0 a 1) x*(3x-x^3)*dx;

V =  2π*∫ (de 0 a 1) (3x^2-x^4)*dx;

V =  2π* [ x^3 - (1/5)x^5];  de 0 a 1:

V =  2π* (1-1/5) - 0;  

V = (8/5)π u^3