Calcular la integral por diferentes caminos

A (I)

El segmento de (0, 0) a (1,0) se parametriza con y(t)=0 con lo que y^4 = y^3 = 0 y la integral curvilínea a través de él es 0

El segmento de (1,0) a (1,1) se parametriza con

x=1 --> dx=0

y=t  --> dy=dt

para 0 <= t <= 1

y lo único no nulo que queda al susituir en la integral es:

$$\begin{align}&\int_0^1 1^2t^3dt=\frac 14\end{align}$$

a(II)

El segmento de (0, 0) a (0, 1) se parametriza con x(t)=0 por lo que x=x^2=0 y la integral curvilínea a través de él es 0

el segmento (0,1) a (1, 1) se parametriza con

x(t) = t  --> dx=dt

y(t) = 1 --> dy=0

para 0 <= t <= 1

y con ello lo que queda no nulo en la integral es:

$$\begin{align}&\int_0^1 t·1^4dt=\frac 12\end{align}$$

b)

El segmento de (0,0) a (1,1) se parametriza con

x(t) = t  --> dx = dt

y(t) = t  --> dy = dt

para 0 <= t <= 1

Y la integral será:

$$\begin{align}&\int_0^1\left((t·t^4)·1+(t^2·t^3)·1\right)dt=\\&\\&2\int_0^1t^5 \,dt=\frac 26=\frac 13\end{align}$$

c) Se parametriza con:

x(t) = t^3  --> dx=3t^2 dt

y(t) = t  --> dy = dt

para 0 <= t <= 1

Y la integral que queda es:

$$\begin{align}&\int_0^1\left((t^3·t^4)3t^2+(t^6t^3)·1\right)dt=\\&\\&\int_0^1(3t^9+t^9)dt = 4\int_0^1t^9dt=\frac 4{10}=\frac 25\end{align}$$

No hay función potencial, si la hubiera el resultado sería el mismo por todos los caminos.

Y eso es todo.