Integración por sustitución: encontrar la función.
Sabemos que cierta función que queremos encontrar y(t) cumple con la siguiente ecuación:
dy/dt=raìz de (t^3-1t^2)
Y que pasa por el punto 2,1
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No entiendo por qué pusiste el 1, pero veamos...
$$\begin{align}&\frac{dy}{dt} = \sqrt{t^3-t^2}\\&dy = \sqrt{t^3-t^2} dt\\&\int dy = \int \sqrt{t^3-t^2} dt\\&y = \int \sqrt{t^3-t^2} dt = \int \sqrt{t^2 (t-1)} dt = \int t \sqrt{t-1} dt\\&u=\sqrt{t-1} \\&du = \frac{dt}{2 \sqrt{t-1}}\\&2 du = \frac{dt}{ \sqrt{t-1}} \cdot \frac{\sqrt{t-1}}{\sqrt{t-1}}\\&2 du = \frac{\sqrt{t-1} dt}{ t-1}\\&2 (t-1)du = \sqrt{t-1} dt\\&2 u^2 du = \sqrt{t-1} dt\\&Retomando...\\&\int t \sqrt{t-1} dt = \int (u^2+1)2u^2du = 2 \int (u^4+u^2) du =\\&2(\frac{u^5}5+\frac{u^3}3) + C = \frac{2}5 (\sqrt{t-1})^5 + \frac{2}3 (\sqrt{t-1})^3 +C\\&\text{Como pasa por el punto (2,1), reemplazando hallaremos el valor de C}\\&1 = \frac{2}5 (\sqrt{2-1})^5 + \frac{2}3 (\sqrt{2-1})^3 +C\\&1 = \frac{2}{5} + \frac{2}3 + C\\&C = -\frac{1}{15}\\&\text{Por lo tanto, la expresión queda}\\&y=\frac{2}5 (\sqrt{t-1})^5 + \frac{2}3 (\sqrt{t-1})^3 -\frac{1}{15}\\&\text{(te dejo de tarea, simplificar la expresión anterior sacando factor común)}\end{align}$$Salu2