Como hallar el dominio, y expresar la función sin valores absolutos

Andrea, en el numerador tienes una función valor absoluto que está definida siempre, en el denominador tenés la función 'x' que también está definida siempre, por lo que queda la función cociente que estará definida siempre que el denominador sea distinto de 0.

Conclusión:

Dom = R - {0}

Para redefinir la función sin valor absoluto, tendrás que ver los intervalos donde lo que está adentro del valor absoluto cambia de signo...

$$\begin{align}&f(x) = \frac{|4+x|-|x|+2}{x}\\&Si\ x>0\\&|x| = x\\&Si \ x<0\\&|x| = -x\\&Si\ x>-4\\&|4+x| = 4+x\\&Si \ x<-4\\&|4+x| = -(4+x)=-4-x\end{align}$$

Tenemos 2 cortes en la función, acomodamos la función según los signos que definimos antes para que quede la función partida

$$\begin{cases} 
      \frac{-(4+x)-(-x)+2}x  & \mbox{si } x < 4 \\
      \frac{(4+x)-(-x)+2}x  & \mbox{si } -4 \le x < 0 \\ 
      \frac{(4+x)-(x)+2}x & \mbox{si } x > 0 
   \end{cases}$$

Salu2