E un triangulo ABC el lado ab mide 5cm y el lado AC mide 3cm ¿Cuantos triángulos distintos pueden construirse con esta condición

Como estas:

Entonces podrías construir 7 triángulos distintos...

Ahora, si "x" es un número real mayor o igual a 2 y menor o igual a 8, entonces se construirían infinitos triángulos...

Tuti, no sé si quedó claro lo que puse en los comentarios y en ese lugar no se puede aclarar mucho, así que lo voy a plantear de otra manera.

No sé que haz visto hasta ahora en el colegio, pero voy a asumir que viste el teorema del seno y el del coseno. Si es así yo voy a usar este último (en caso que no lo hayas visto, avisa que intento plantearlo de otro modo).

El teorema del coseno dice que en todo triángulo (cualquiera sea), todos los lados cumplen la siguiente propiedad:

a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc cos(A)

Básicamente lo que está diciendo es que el cuadrado de cualquier lado es igual a la suma del cuadrado de los otros 2, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo que los comprende (fijate que el Teorema de Pitágoras es un caso particular de esto, cuando cos(A) = 0, o sea para un ángulo A de 90°).

Dicho esto para este caso particular si hacemos b=5, c=3, busquemos todos los valores posibles de a

a^2 = 5^2 + 3^2 - 2 * 5 * 3 * cos(A)

Hago las cuentas que puedo

a^2 = 34 - 30 cos(A)

Sabemos que cos(A) está entre -1 y 1, por lo tanto la expresión anterior la podemos acotar por

34 - 30 < a^2 = 34 - 30cos(A) < 34 + 30            (*)

Acá una aclaración (y es la diferencia principal con la respuesta de Luis)

En las desigualdades puse '<' en lugar de '<='.

Vemos que el igual se da cuando cos(A) = 1 (o -1), pero para que pase esto, el ángulo debe ser de 0° (o 180°) y si el ángulo es de 0° (o 180°), entonces los lados b, c estarían sobre la misma recta de acción y no se formaría ningún triángulo, es por eso que la igualdad NO es posible.

Retomando (*), hago las cuentas y tenemos

4 < a^2 < 64

Aplico raíz en todos los términos

2 < a < 8

Por lo tanto la solución de a está en el intervalo abierto (2, 8)

La cantidad de triángulos que pueden contruirse será:

Si se permiten todos los reales = Infinitos

Si solo se permiten naturales a = {3,4,5,6,7}

Salu2