Problema hallar la cantidad de habitantes en determinada región

En principio te diría que sí (tal vez no se dio cuenta que la integral que estaba planteando involucraba al logaritmo y por ende para 0 no tenía sentido). Si te parece te lo voy a resolver asumiendo lo que dije antes, que la expresión que describe a la población es k/(r+1), si bien probablemente sea otra cosa, te servirá para entender como plantear el problema.

Nuevamente planteamos lo mismo que antes:

$$\begin{align}&\int \frac{k}{r+1} dr = k \cdot ln(r+1) + C\\&\text{Para hallar el valor de k, usamos lo que nos dice respecto a los 5Km de radio y la cantidad de habitantes, o sea}\\&\int_0^{5} \frac{k}{r+1} dr = k \cdot ln(r+1) \bigg|_0^{5} = k (ln(5+1) - ln(0+1)) = k \cdot ln(6)\\&\text{Sabemos que eso debe dar 100000, por lo tanto:}\\&100000=k \cdot ln(6) \to k=55811\\&\text{Así que finalmente la expresión para la población es: }\sigma(r) = \frac{55811}{r+1}\\&\text{Cuantos habitantes vivirán entre 3 y 4 km, debes hacer la integral:}\\&\int_3^4 \frac{55811}{r+1}dr\end{align}$$

Te queda de tarea esa última integral (pero ya la primitiva la tienes más arriba por lo que es solo cambiar valores y recalcular)

Salu2