Como se resuelven los sig ejercicios
1) (a) Calcular las siguientes expresiones:
i) |4| + | − 2|, ii) |2 −√3|, iii) |(a + 1)2 − 2a − 1|.
(b) Encontrar, si es posible, todos los x ∈ R tales que:
i) |x| = 8, ii) |3x − 6| = 1, iii) |x + 2| + |x| = 4 , iv) | − 3x + 8| = 0.
2)Resolver las siguientes inecuaciones. Expresar las soluciones en forma de intervalos.
(a) |3x − 5| < 10, (b)x2−32≥ 5, (c) x2 − 3x + 2 ≥ 0 , (d) |3 − x| ≥ x.
3)Escribir en términos de valor absoluto las siguientes desigualdades, y resolverlas: i) x2 + 5x > 0 ii) x2 − 2x < 0,
iii) x2 − x − 2 ≥ 0.
1 Respuesta
i) |4| + | − 2|, 4+2=6;
ii) |2 −√3|; Tomemos a √3=+- 1.732 (porque toda raíz par tiene ambos signos): entonces hay dos resultados posibles: 3.732 o 0.268
iii) |(a + 1)2 − 2a − 1|. a^2+2a+1-2a-1= a^2
(b) Encontrar, si es posible, todos los x ∈ R tales que:
i) |x| = 8, 8 y (-8);
ii) |3x − 6| = 1, Dos resultados también.
Para 3x-6=1: x=7/3;
Para -(3x-6)=1: (-3x) + 6 =1; (-3x)=(-5); x=5/3
iii) |x + 2| + |x| = 4 , Dos resultados posibles: (-3) y 1.
Razonemos: Para x+2+x=4; x=1;
Para -(x+2) + (-x) = 4; -x-2-x=4; (-2x)=6; x=(-3)
iv) | − 3x + 8| = 0. Un solo resultado posible:
(-3x)+8=0; (-3x)=(-8); x=8/3.
2)Resolver las siguientes inecuaciones. Expresar las soluciones en forma de intervalos. Siempre partamos de los 0 de los módulos:
(a) |3x − 5| < 10, 3x-5=0; x=5/3;
Para x<5/3: -(3x-5)<10; -3x+5<10; -3x<5; -x<5/3; x> (-5/3) (al multiplicar por (-1) como al elevar a (-1) se debe invertir el signo); o (-3/5)<x.
Primera posibilidad: (-3/5)<x;
Para x>5/3: 3x-5<10; 3x<15; x<5; que es tu segunda posibilidad.
Válida para el intervalo abierto (porque no incluye los extremos): (-3/5 ; 5)
(b)x2−32≥ 5, Desigualo a 0: x^2 - 37 ≥ 0; es una parábola cuadrática de vértice inferior (término cuadrático positivo), por lo que la positividad estará en las ramas (no en el vértice). Hallo las raíces (o ceros de la raíz):
x^2≥ 37; x= +-√37. Válida para los intervalos semiabiertos (porque no sólo es ">" sino también "=")
(-∞;-√37] U [+√37; +∞)
(c) x2 − 3x + 2 ≥ 0 , Mismo caso que el anterior, ya desigualada a 0:
Raíces: [3+-√(9-8)] / 2; (3+-1)/2; 1 y 2
(-∞; 1] U [2; +∞)
(d) |3 − x| ≥ x. |3-x| -x ≥0; Cero del módulo: 3-x=0; x=3;
Para x<3: -(3-x)-x≥0; -3+x-x≥0; (-3)≥0; absurdo, no válida.
Para x>3: 3-x-x≥0; 3-2x≥0; (-2x)≥(-3); 2x≤3; x≤ 3/2
3)Escribir en términos de valor absoluto las siguientes desigualdades, y resolverlas: Son tres parábolas cuadráticas de vértice inferior.
i) x2 + 5x > 0; Positividad en las ramas; dos intervalos abiertos:
x(x+5); x=0; o: x=(-5);
Validez: (-∞; -5) U (0; +∞)
ii) x2 − 2x < 0, Negatividad en el vértice, un solo intervalo abierto:
x(x-2); x=0; x=2.
(0; 2)
iii) x2 − x − 2 ≥ 0. Positividad en las ramas, dos intervalos semiabiertos:
[1+-√(1+8)] / 2: (1+-3)/2; (-1) y 2.
(-∞; -1] U [ 2; +∞)
