. Determinar si los planos son paralelos

En los planos de la forma Ax + By + C + D = 0, su vector ortogonal se puede escribir así 

                                                                     v=(A,B,C)

Entonces para saber si dos planos son paralelos, sus vectores ortogonales deben ser paralelos también.

Para el plano P1 se tiene el vector ort. v1 = (2,-6,2) 

Para el plano P2, se tiene el vector ort. v2 = (-8,-4,12) || (2,1,-3) = v2'

Se ve claramente que no son paralelos.

Para hallar el vector director de la recta paralela a los dos planos calculamos un tercer vector

                                                                   v3 = v1 x v2'

que será ortogonal a v1 y v2 al mismo tiempo

$$v_3=\det\left(\begin{matrix}
i&j&k\\
2&-6&2\\
2&1&-3
\end{matrix}\right)=(16,10,14)\parallel (8,5,7)\\ \\
v_3'=(8,5,7)$$

Entonces la ecuación vectorial de la recta es

                                                       (x,y,z) = (p,q,r) + (8,5,7)s

Necesitamos un punto de paso (p, q, r) eso lo hallamos con ayuda de las dos ecuaciones de los planos:

p1: 2x-6y+2z-2=0

p2: -8x-4y+12z-20=0

Sea x = 0, entonces tenemos

-6y+2z=2

-4y+12z=20

y = 1/4

z = 7/4

Entonces un punto de paso puede ser (0,1/4,7/4), así la ecuación vectorial de la recta es

                                                   (x,y,z) = (0,1/4,7/4) + (8,5,7)s

Otra forma de hallar la recta entre dos planos es intentar resolver el sistema que generan los planos

p1: 2x-6y+2z-2=0

p2: -8x-4y+12z-20=0

$$\begin{cases}
2x-6y+2z=2\\
-8x-4y+12z=20
\end{cases}\\~\\
\text{De forma matricial:}\\
\left(\begin{matrix}
2&-6&2&:&2\\
-8&-4&12&:&20
\end{matrix}\right)\sim
\left(\begin{matrix}
1&-3&1&:&1\\
-2&-1&3&:&5
\end{matrix}\right)\sim
\left(\begin{matrix}
1&-3&1&:&1\\
0&-7&5&:&7
\end{matrix}\right)\\~\\
\left(\begin{matrix}
1&-3&1&:&1\\
0&1&-5/7&:&-1
\end{matrix}\right)\sim\left(\begin{matrix}
1&0&-8/7&:&-2\\
0&1&-5/7&:&-1
\end{matrix}\right)\\~\\
x-\frac{8}{7}z=-2\to x=\frac{8}{7}z-2\\~\\
y-\frac{5}{7}z=-1\to y=\frac{5}{7}z-1\\~\\
(x,y,z)=\left(\frac{8}{7}z-2,\frac{5}{7}z-1,z\right)\\~\\
(x,y,z)=(-2,-1,0)+(\frac{8}{7},\frac{5}{7},1)z\\~\\
\text{Sea }z=7s\\~\\
(x,y,z)=(-2,-1,0)+(8,5,7)s$$

Obtuvimos ecuaciones de rectas semejantes