Ejercicio de cálculo No.5 - Problemas de optimización - La lata

En este caso tenemos una lata de forma cilíndrica. Supongamos que la tapa circular posea un radio r y la altura de la lata sea h, entonces para el material tengamos en cuenta el área total

$$\begin{align}&A_T=2\pi r^2+2\pi rh\end{align}$$

Para el contenido de la leche tenemos el volumen del interior de la lata

$$\begin{align}&V=\pi r^2 h\end{align}$$

En este caso V = 1L es una cantidad conocida, entonces podemos despejar a h

$$\begin{align}&h=\dfrac{V}{\pi r^2}~~~~~~~~~\end{align}$$

y reemplazamos esto en el área total

$$\begin{align}&A_T=2\pi r^2 +2\pi r \cdot\dfrac{V}{\pi r^2}~~~~~~~~~\\~\\&A_T=2\pi r^2 +\dfrac{2V}{r}\end{align}$$

Que podemos verlo como función de r

$$\begin{align}&A(r)=2\pi r^2 +\dfrac{2V}{r}~~~~~~~\\&\color{blue}{\text{Derivamos con respecto a }r }\\&\\&\dfrac{dA}{dr}=4\pi r-\dfrac{V}{r^2}\\&\\&\color{blue}{\text{Igualamos a 0 para hallar puntos críticos}}\\&\\&4\pi r-\dfrac{V}{r^2}=0\\&\\&r^3-\dfrac{V}{4\pi}=0\\&\\&r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{4\pi}}\\&\\&\color{blue}{\text{Calculamos la segunda derivada para saber el tipo de punto en }r}\\&\\&\dfrac{d^2A}{dr^2}=\dfrac{d}{dr}(4\pi r-\dfrac{V}{r^2})=4\pi +\dfrac{2V}{r^3}\\&\\&\color{blue}{\text{Como }V>0 \text{ entonces con esa información es más que suficiente para aseverar}}\\&\\&\dfrac{d^2A}{dr^2}>0\\&\\&\color{blue}{\text{Que significa que  }r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{4\pi}}\text{ es un punto de mínimo}}\end{align}$$

Como sabemos V = 1000 cm3, entonces 

$$\begin{align}&r=\sqrt[3]{\dfrac{1000}{4\pi}} \text{ cm }~~~~~~~\\&\\&r  = \dfrac{10}{\sqrt[3]{4\pi}}\text{ cm }~\\&\\&r\approx 4.301\text{ cm }~\\&\\&\color{green}{\text{Luego la altura es}}\\&\\&h= \dfrac{V}{\pi r^2}=\dfrac{1000}{100 \pi }\cdot  \sqrt[3]{16\pi^2} \text{  cm}~~~~~~~~~~~\\&\\&h = \dfrac{10}{\pi}\sqrt[3]{16\pi^2}\text{ cm}\\&\\&h\approx 17.205 \text{ cm}\end{align}$$

Por allí se me fue un 2, al derivar dA/dr