Demostración de las expresiones de un interferómetro de Michelson y Morley (Física moderna)
Tengo un problema que dice lo siguiente:
La figura muestra un interferómetro de Michelson con un viento del éter cuya velocidad uniforme \vec{v} hace un ángulo Phi con el brazo de longitud l1. Muestre que el tiempo para el viaje redondo para cada brazo es
$$\begin{align}&t_1=\dfrac{2l_1}{c}\dfrac{\sqrt{1-\beta^2sin^2\phi}}{1-\beta^2} \ ; \ t_2=\dfrac{2l_2}{c}\dfrac{\sqrt{1-\beta^2cos^2\phi}}{1-\beta^2}\end{align}$$Anexo la figura
Hasta ahora he llegado a la siguiente expresión:
$$\begin{align}&t_1 = \dfrac{2l_1}{\sqrt{(c+vcos\phi)^2-v^2sin^2\phi}} + \dfrac{2l_1}{\sqrt{(c-vcos\phi)^2-v^2sin^2\phi}}\end{align}$$Para llegar a esta expresión considere que el interferómetro se desplaza hacia la izquierda y hacia abajo por \vec{v}, la velocidad vertical no cambia para el brazo l1 pero la velocidad horizontal para este brazo primero es c+vcos\phi y cuando el rayo se refleja en el espejo la velocidad horizontal cambia a c-vcos\phi, lo demás lo deduje al usar teorema de Pitágoras con las distancias del triangulo que se forma por el desplazamiento del sistema.
Espero que alguien pueda indicarme cómo proceder, o decirme si mi razonamiento (la expresión que obtuve) es correcta.
1 Respuesta
Analizando la fórmula a la que habrías llegado, debes racionalizar denominadores en cadA termino haciendo ademas el reemplazo de ( c +/ - cos fi)^2 por (c )^2. Si pones v/c = Beta ( no puedo escribir la letra griega aquí) ... y sacas c fuera de la raíz... llegas a la forma que te muestran arriba en el enunciado.
Pero no interpreto bien porque estas sumando los dos tiempos ( t1 y t2). Me podrías indicar tus pasos de razonamiento
En realidad no estoy sumando los tiempo t1 y t2, primero calculo el tiempo de ida y vuelta para el brazo l1, la siguiente figura muestra el razonamiento que hice:
Considero que el interferómetro se mueve hacia abajo por el viento del éter, como la velocidad no cambia en el eje vertical para este brazo l1 entonces el tiempo que tarda en bajar M hacia el brazo l1 debe ser t1/2, luego, la velocidad horizontal si cambia porque primero tenemos c+vcos(phi) (velocidad del éter a favor) y cuando el rayo de luz va de regreso (de M1 a M) la velocidad horizontal ya es c-vcos(phi) (velocidad del éter en contra), luego analizo las distancias que forman el triángulo rectángulo. Sin emabrgo no sé si es correcto tomar el mismo tiempo para el viaje de ida y vuelta, es decir, no sé si la luz tarda t1/2 de M a M1 y luego le toma otro t1/2 de M1 a M o son tiempos diferentes.
Ahora si... viendo tu desarrollo, me parece correcto. Los tiempos que considerás yo también los tomaría como iguales. Tienes que racionalizar denominadores en cadA termino haciendo además el reemplazo de ( c +/ - cos fi)^2 por (c )^2. Si pones v/c = Beta ( no puedo escribir la letra griega aquí) ... y sacas "c "fuera de la raíz... llegarías a la forma que te dicen en el enunciado.
Muchas gracias
A vos.
