Validar estos ejercicios de vectores
- Expresar los siguientes vectores como combinación lineal de𝑢⃗ =(3,2,1), 𝑣 =(1,0,1) y𝑤⃗⃗ =(0,2,−2).
- 𝑧 =(5,7,2)
- 𝑧 =(6,0,1)
- 𝑧
- 𝑧
- Determinar si el vector𝑥es combinación lineal de𝑢⃗ , 𝑣, y𝑤⃗⃗, si
- 𝑥 =(5,7,8) y 𝑢⃗ =(1,0,0), 𝑣 =(0,1,1), 𝑤⃗⃗ =(0,−,−)
- 𝑥 =(0,4,6) y 𝑢⃗ =(−3,−2,−1), 𝑣 =(1,2,2), 𝑤⃗⃗ =(0,0,6)
- 𝑥 =(6,7,6) y 𝑢⃗ =(−1,1,−1), 𝑣 =(1,−2,1), 𝑤⃗⃗ =(4,3,2)
- Si𝑢⃗ =(6,𝑎,2), 𝑣 =(𝑏,3,−1) y𝑤⃗⃗ =(5,1,𝑐) determinar el resultado de las siguientes operaciones entre vectores
- 𝑢⃗ ∙𝑣
- (𝑣 ∙𝑤⃗⃗ )𝑢⃗
- 3𝑢⃗ −7𝑣 +6𝑤⃗⃗
2 respuestas
Antonio, pones validar pero no escribes tu respuesta para que te digamos si está bien.
Todos se resuelven de manera 'parecida', por lo que haré el primero, pon aquí el resultado de los otros para que los validemos.
𝑢⃗ =(3,2,1), 𝑣 =(1,0,1), 𝑤⃗⃗ =(0,2,−2)
z = (5,7,2)
Para que sea CL, deben existir coeficientes (digamos a, b, c) tal que z sea una combinación de los vectores dados multiplicados por esos coeficientes, o sea
z = a u + b v + c w
(5,7,2) = a(3,2,1) + b(1,0,1) + c(0,2,−2)
(5,7,2) = (3a,2a,a) + (b,0,b) + (0,2c,−2c)
Y para que dos vectores sean iguales, deben serlo componente a componente, o sea
5 = 3a + b
7 = 2a + 2c
2 = a + b - 2c
Ya tienes tu sistemas de ecuaciones de 3x3
De la primera despejo b
b = 5 - 3a
Lo uso en la tercera
2 = a + 5 - 3a - 2c
-3 = -2a - 2c
Entre esta última ecuación y la segunda se puede ver que el sistema es incompatible. Lo que significa que z no puede escribirse como CL de los otros 3 vectores.
Estamos en R^3 y tienes 3 vectores, por lo cual para que pase lo anterior el problema es que esos vectores no forman una base del espacio vectorial (dicho de otra forma, uno de ellos podrás escribirlo como CL de los otros dos).
Voy a escribir u como CL de v, w (aunque no voy a hacer todos los pasos como antes).
(3,2,1)= a(1,0,1) + b(0,2,−2)
3 = a
2 = 2b
1 = a - 2b
De la segunda b = 1 y ya sabemos que a = 3; veamos si se cumple la tercera
1 = 3 - 2*1 = 1 Verificado, por lo tanto escribimos u como CL de v,w
Con lo anterior podemos decir que u es redundante, así que el otro ejercicio de este primer punto lo voy resolver solo con los vectores v, w.
(6,0,1) = a(1,0,1) + b(0,2,−2)
6 = a
0 = 2b
1 = a - 2b
De las primeras ecuaciones se ve que a=6, b=0 pero esto no cumple la última ecuación, así que tampoco se puede escribir este vector como CL de los originales.
Lo que te ha explicado y desarrollado Gustavo es lo correcto, Yo hice otros y tampoco me significan combinaciones lineales. Es cuestión de establecer los sistemas de ecuaciones lineales en cada caso.
Te asesoro para la segunda parte V( operaciones entre vectores;)
Si𝑢⃗ =(6,𝑎,2), 𝑣 =(𝑏,3,−1) y𝑤⃗⃗ =(5,1,𝑐) determinar el resultado de las siguientes operaciones entre vectores
- 𝑢⃗ ∙𝑣
(6,𝑎,2) x (𝑏,3,−1) = 6b + 3a -2 .......es un escalar.
- (𝑣 ∙𝑤⃗⃗ )𝑢⃗
Es un triple producto escalar. El resultado tambien es un escalar. Resulta de resolver el determinante;
vx............vy.............vz
wx...........wy ...........wz
ux ...........uy.............uz
El determinante seria:
b ................3 .............-1
5 ................1 ............. c
6 ...............a ................2
Te estaria dando .........(2b-5a+18c ) - ( -6 + 30 + abc) = ..................................
- 3𝑢⃗ −7𝑣 +6𝑤⃗⃗ ... Este es muy fácil y te lo dejo a vos.
Cualquier duda vuelves a consultarnos; o nos elevas lo que hallas hecho...