Si n es un entero impar, pruebe que n^4 + 4n^2 + 11 es de la forma 16k .

Veamos si llegamos a algo

n: Entero impar

O sea que a n lo podemos pensar como

n= 2 t + 1 ........para algún entero 't'

n^4 + 4n^2 + 11 = (2t+1)^4 + 4 (2t+1)^2 + 11 

Desarrollando la expresión

= 16 t^4 + 32 t^3 + 24 t^2 + 8t + 1 + 16t^2 + 16t + 4 + 11

Agrupando

= 16 t^4 + 32 t^3 + 40 t^2 + 24 t + 16

= 8 (2 t^4 + 4 t^3 + 5 t^2 + 3 t + 2)

Para ver que esa expresión de arriba la podemos pensar como 16k, queda demostrar que

2 t^4 + 4 t^3 + 5 t^2 + 3 t + 2 es par (intenta ver por qué digo esto)

Claramente ver eso es lo mismo que ver que 5 t^2 + 3 t es par

5t^2 + 3t = t (5t + 3)

Dos posibilidades:

Caso 1) t par: listo, ya que t = 2j 

Caso 2) t impar: antes de avanzar con este caso, veamos que pasa cuando multiplicamos y sumamos números pares e impares

par * par = par

par * impar = par

impar * impar = impar

par + par = par

par + impar = impar

impar + impar = par

retomando, tenemos t (5t + 3) y sabemos que t es impar

Pero por lo que vimos recien 5t será impar, así que al sumarle 3 quedará par y si luego lo multiplicamos por t seguirá siendo par

Conclusión 5 t^2 + 3 t es par para todo t entero, por lo que 2 t^4 + 4 t^3 + 5 t^2 + 3 t + 2 es par para todo t entero o sea que 

16 t^4 + 32 t^3 + 40 t^2 + 24 t + 16 = 8 (2 t^4 + 4 t^3 + 5 t^2 + 3 t + 2) = 8 * 2 * k = 16k (que es a lo que queríamos llegar)

Salu2