Vectores ortogonales entre 3 vectores que se definen
Dados tres vectores a, b, c ∈ R" suponga que el ángulo entre a y c es igual al ángulo entre b y c. Pruebe que c es ortogonal al vector || b || a− || a || b.
1 Respuesta
Sin perdida de generalidad podemos asumir que el vector C = (1,0). (Podemos elegir una base en la que esto ocurra). Nos piden demostrar la ortogonalidad, usaremos el producto escalar
$$\begin{align}&\vec{c} \cdot \left(| \vec{b}| \vec{a} -| \vec{a}| \vec{c}\right ) \stackrel{?}{=} 0 \\&| \vec{b}| \vec{c} \cdot \vec{a} - | \vec{a}| \vec{c} \cdot \vec{b} \stackrel{?}{=} 0 \\&\text{Notar que es simplemente la proyeccion de los vectores sobre el eje x}\\&\text{Como forman el mismo angulo alfa tenemos que }\\&| \vec{b}| | \vec{a}| \cos{ \alpha} - | \vec{a}| | \vec{b}| \cos{ \alpha} = 0\end{align}$$Como el resultado es 0 efectivamente es perpendicular
se puede verificarse que los mismos son ortogonales entre sí, comprobando que el producto escalar es nulo para cualquier par, ¿es eso correcto?
Si, en la demostración lo único que hemos hecho fue decir que a y b forman el mismo angulo con c(que es lo que dice el ejercicio). Y el producto escalar c .a es |a| cos alfa porque el modulo de C es 1 (sin perdida de generalidad). De forma similar con b. Y de forma "natural" sin decir quien es b y quien es a, te sale que la primera línea da 0 siempre ya que en la ultima vemos que esa resta es 0 .
Lo di por supuesto, pero por si acaso, se supone que si haces el producto escalar entre dos vectores y da 0, los vectores son perpendiculares. ¿Por eso en la primera línea puse es el producto escalar de c con el largo cero? Hice pasos, y haciendo la hipótesis que planteabas de los ángulos resulta que si
Si lo ves mejor con una imagen hay dos opciones, si es cierto que a y b forman el mismo angulo entonces, o están en la misma dirección, o están como muestro en la imagen. Si están en la misma dirección al hacer || b || a− || a || b como están en la misma dirección y además es fácil ver que tienen la misma magnitud da como resultado el vector 0. El vector 0 es "ortogonal" a todos los vectores. En el caso de la imagen, por geometría sucede lo mismo, hay una simetría respecto a c. Como forman el mismo angulo los dos vectores ampliados forman un triangulo isósceles (tienen la misma magnitud). Puedes ver que c es la altura del triangulo isosceles y el vector morado(|| b || a− || a || b) es la base. Estas dos son perpendiculares.
Con lo que vemos que en ambos casos c siempre sera perpendicular si es cierto que a y b forman el mismo angulo con c
