¿Cómo resolver : - [ - 3x + ( 5x - 6y ) - 100 ] = - 6x - ( 2x + 5y ) - 45 ?

En las ecuaciones diofánticas se encuentras las soluciones enteras.

Primero debes reducir la ecuación a la forma

ax + by = c

Entonces de esta ecuación:

- ( - 3x + ( 5x - 6y ) - 100 ) = - 6x - ( 2x + 5y ) - 45

Tenemos:

6x + 11y = -145

Encontrar el máximo común divisor de (6, 11) 

         1      1      5
11     6      5     1
5       1      0

mcd(6, 11) = d => 1

Del cuadro anterior vamos a obtener x(0), y(0)

1 = 6 - 5
1  = 6 - (11 - 6)
1  = 6(2) + 11(-1) 

Entonces 

X(0) = 2
Y(0) = -1
d = 1

________________

El siguiente paso es sustituir los valores en estas ecuaciones:

x = x(0)(c') - (b/d)(k)
y = y(0)(c') + (a/d)(k)

Sustituir:

x = 2(-145) - (11/1)(k)
y = -1(-145) + (6/1)(k)

Resolver:

x = -190 - 11k

y = 145 + 6k

Entonces k va a tomar valores enteros, desde 0 hasta el infinito:

Por ejemplo, si k =1, 

k = 1

x = -290 - 11(1)

y = 145 + 6(1)

x = -301
y = 151

Sustituimos x = -301, y =151 en la ecuación inicial:

6x + 11y = -145
6(-301) + 11(151) = -145
-1806 + 1661 = -145

-145 = -145

________________

Otro ejempo, si k = 0

x = -290 - 11(0)

y = 145 + 6(0)

x = -290
y = 145

6x + 11y = -145
6(-290) + 11(145) = -145
-1740+ 1595= -145

-145 = -145

Para entender toda la secuencia, revisa el siguiente vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=0T1HrBu03BA&t=289s