Cómo demostrar o probar las siguientes propiedades de matrices simétricas.
Requiero me indiquen cómo realizar estas cuestiones, o en cuál libro de texto, puedo analizar estas.
1 Respuesta
Solo tienes que saber estas propiedades de la traspuesta
$$\begin{align}&(\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}\\&(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}\\&(\alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B})^T = \alpha\mathbf{A}^T+\beta\mathbf{B}^T\\&(\mathbf{A}_1\mathbf{A}_2\cdots\mathbf{A}_{n-1}\mathbf{A}_n)^T = (\mathbf{A}_n^T\mathbf{A}_{n-1}^T\cdots\mathbf{A}_2^T\mathbf{A}_1^T)\end{align}$$Lo que vas a hacer es en cada matriz B calcular la traspuesta. Y ver si luego de las simplificaciones que se puedan hacer se llega a la misma matriz B.
Hola, ¿me puedes recomendar algún libro de texto universitario o de postgrado matemático, donde vea esas propiedades?
Gracias.
De cabeza no te sabría decir que libro las muestra. Si es por las demostraciones las buscaría por internet que se encuentran fácilmente. Si es por tener un libro de álgebra lineal de referencia pues hay mucha bibliografía. Un clásico es álgebra lineal y aplicaciones de Gilbert Strang. En español no te se decir muchos más pero en inglés si y ya depende un poco de lo que busques. Pero en general cualquier libro que encuentres de álgebra lineal es lo suficientemente bueno..
$$\begin{align}&\mathbf{B} = \mathbf{A}^2 + 2 \mathbf{A}\mathbf{A}^T-\left(\mathbf{A}^T\right)^2\\&\mathbf{B}^T = (\mathbf{A}\mathbf{A})^T + 2 (\mathbf{A}\mathbf{A}^T)^T - (\mathbf{A}^T\mathbf{A}^T)^T\\&\mathbf{B}^T =(\mathbf{A}^T\mathbf{A}^T) + 2 (\mathbf{A}^T)^T \mathbf{A}^T - ((\mathbf{A}^T)^T(\mathbf{A}^T)^T)\\&\mathbf{B}^T = (\mathbf{A}^T\mathbf{A}^T) + 2\mathbf{A}\mathbf{A}^T-\mathbf{A}\mathbf{A}\\&\mathbf{B}^T = \left(\mathbf{A}^T\right)^2 + 2 \mathbf{A}\mathbf{A}^T - \mathbf{A}^2 \neq \mathbf{B}\end{align}$$Luego no es simetrica
