Hallar Máximos y Mínimos de una función con dos variables
En los siguientes ejercicios debe usar los criterios de la primera derivada y del Hessiano para determinar los puntos críticos y decidir si es un máximo, mínimo, punto silla o si simplemente el criterio no es concluyente. Cada paso del procedimiento debe estar debidamente justificado. En cada uno de los ítems a es una constante, a la cual no debe asignarle ningún valor en específico
- La función f ( x,y)= (x − y) ( a^2-xy) , con a ≠ 0
1 Respuesta
Primero calculas cuando el gradiente se hace cero. Haciendo las derivadas parciales te queda
$$\begin{align}&f_x:a^2-2xy+y^2=0,\\&f_y:-x^2-a^2+2xy=0.\end{align}$$Para resolver ese sistema si sumas las dos ecuaciones te queda que x^2=y^2. Por tanto tienes
$$\begin{align}&y=\pm x,\\&\end{align}$$Sustituyes ambas posibilidades en cualquiera de las ecuaciones y llegas que las únicas opciones son (a,a) ó (-a,-a). Para hacer la hessiana haces las segundas derivadas y te queda
$$\begin{bmatrix}
-2y & -2x+2y\\
-2x+2y & 2x
\end{bmatrix}$$Cuando sustituyes los puntos obtenidos puedes hacer lo de los menores principales, pero en este caso es más sencillo porque la matriz es diagonal y por tanto 2a y -2a son los valores propios en ambos casos. Como a != 0 entonces tienen signos opuestos por lo que son puntos de silla
