Intentaré...
Ecuación de esta circunferencia, como el centro está en (r; r): (x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2
Su primera derivada: 2(x-r) + 2(y-r)*y' = 0; o: (x-r) + (y-r)*y' = 0; y' =(r-x)/(y-r).
Recta tangente AC: tiene como pendiente= -9/12; o: p=-(3/4);
La ecuación de esta recta es: y= (-3/4)x + 9; porque 9 es la ordenada al origen.
En el punto de tangencia de la recta AC con la circunferencia, son iguales la tangente de la circunferencia y la pendiente de la recta, además de iguales valores de x e y.
Igualamos pendientes: (-3/4) = (r-x)/(y-r); reemplazo y por su valor en la recta:
(-3/4) = (r-x) / [(-3/4)x + 9 - r]; opero:
(-3/4) * [(-3/4)x + 9 - r] = (r-x);
(9/16)x - (27/4) + (3/4)r = r-x;
(25/16)x -(27/4) = (1/4)r; simplifico por 4:
(25/4)x - 27 = r; o: x = (r+27)*(4/25)
Con estos datos reescribo la ecuación de la circunferencia:
[ (r+27) * (4/25) - r ]^2 + {(-3/4)x + 9 - r}^2 = r^2; o:
[ (r+27) * (4/25) - r ]^2 + {(-3/4)*(r+27)*(4/25) + 9 - r}^2 = r^2; despejamos r:
r=18 o r=3; puedes "hacer las cuentas" o directamente con Wolfram en:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%5B+%28r%2B27%29+*+%284%2F25%29+-+r+%5D%5E2+%2B+%7B%28-3%2F4%29*%28r%2B27%29*%284%2F25%29+%2B+9+-+r%7D%5E2+%3D+r%5E2&lang=es
Tu respuesta es r=18 cm (si algo no se entiende, avísenme
Excelente Norberto ! ...Había que pensarlo un poco. La doble solución estaría dando los radios de las dos circunferencias a las cuales la recta dada y= (-3/4)x + 9 es tangente en el punto. Una a la derecha y la menor a la izquierda. Abzo. - albert buscapolos Ing°
Así es, Albert. Gracias por tu comentario. - Norberto Pesce