Como calcular el valor de "r"

Intentaré...

Ecuación de esta circunferencia, como el centro está en (r; r):  (x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2

Su primera derivada:  2(x-r) + 2(y-r)*y' = 0;  o:  (x-r) + (y-r)*y' = 0;  y' =(r-x)/(y-r).

Recta tangente AC:  tiene como pendiente= -9/12;  o:  p=-(3/4);

La ecuación de esta recta es:  y= (-3/4)x + 9;  porque 9 es la ordenada al origen.

En el punto de tangencia de la recta AC con la circunferencia, son iguales la tangente de la circunferencia y la pendiente de la recta, además de iguales valores de x e y.

Igualamos pendientes:  (-3/4) = (r-x)/(y-r);  reemplazo y por su valor en la recta:

(-3/4) = (r-x) / [(-3/4)x + 9 - r];  opero:

(-3/4) * [(-3/4)x + 9 - r] = (r-x);

(9/16)x - (27/4) + (3/4)r = r-x;

(25/16)x -(27/4) = (1/4)r;  simplifico por 4:

(25/4)x - 27 = r;  o:  x = (r+27)*(4/25)

Con estos datos reescribo la ecuación de la circunferencia:

[ (r+27) * (4/25) - r ]^2 + {(-3/4)x + 9 - r}^2 = r^2;  o:

[ (r+27) * (4/25) - r ]^2 + {(-3/4)*(r+27)*(4/25) + 9 - r}^2 = r^2;  despejamos r:

r=18 o r=3;  puedes "hacer las cuentas" o directamente con Wolfram en:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%5B+%28r%2B27%29+*+%284%2F25%29+-+r+%5D%5E2+%2B+%7B%28-3%2F4%29*%28r%2B27%29*%284%2F25%29+%2B+9+-+r%7D%5E2+%3D+r%5E2&lang=es 

Tu respuesta es r=18 cm (si algo no se entiende, avísenme