¿Cómo puedo resolver este problema? Descomponiendo en dos factores a⁶-8(b-c)¹²

Si hacemos 8=2^3, reescribimos:

a⁶-2^3*(b-c)¹², vemos que todos los componentes están con potencias múltiplos de 3:

a^6= a^(2*3);

2^3= 2^(1*3);

(b-c)^12 = (b-c)^(4*3);

Aplicamos 6° caso de factoreo: suma o resta de potencias de igual base, en este caso la base es 3, lo que indica que tenemos un caso de "resta de exponentes impares".

{a^2 + 2[(b-c)^4]} * {a^4 - 2a^2[(b-c)^4] + 4[(b-c)]^8}, que es tu consigna.

Para comprobarlo puedes "hacer esta cuenta" o resolverla en:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7Ba%5E2+%2B+2%5B%28b-c%29%5E4%5D%7D+*+%7Ba%5E4+-+2a%5E2%5B%28b-c%29%5E4%5D+%2B+4%5B%28b-c%29%5D%5E8%7D+%3D&lang=es 

Observa tu propuesta inicial donde dice: "Forma alternativa asumiendo que a, b y c son positivos".