Hallar : log sen 5x + 4 - 6 = log sen 3x - 5 + 4

Podemos simplificar la ecuación usando las propiedades de los logaritmos.

Primero, podemos combinar las constantes en ambos lados de la ecuación:

log sen 5x + 2 = log sen 3x - 1

Luego, podemos usar la propiedad que establece que si log a = log b, entonces a = b:

sen 5x + 2 = sen 3x - 1

Ahora, podemos resolver para x algebraicamente. Primero, podemos usar la identidad que sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) para reescribir el lado izquierdo de la ecuación:

sin(4x + 3) = sin(3x - 1)

A continuación, podemos usar el hecho de que sen(a) = sen(b) si y solo si a = nπ + (-1)^n b para algún entero n. En otras palabras, si el seno de dos ángulos es el mismo, entonces esos ángulos difieren por un múltiplo de π más o menos b. Usando este hecho, podemos escribir:

4x + 3 = nπ + (-1)^n (3x - 1)

donde n es un entero. Podemos simplificar esta ecuación aislando x:

x = (nπ + 4)/(7 - (-1)^n)

Esto nos da una fórmula general para las soluciones de la ecuación. Sin embargo, necesitamos verificar si estas soluciones son válidas o no. Como el dominio de la función logarítmica es (0, 1], debemos asegurarnos de que los valores de x que obtenemos satisfagan la condición de que sen 5x > 0 y sen 3x > 0.

Si n es par, entonces (-1)^n = 1 y el denominador de la fórmula es positivo. En este caso, las soluciones son:

x = (2nπ + 4)/7, (2nπ + 11)/7

Podemos verificar que ambos valores de x satisfacen las condiciones, por lo que son soluciones válidas.

Si n es impar, entonces (-1)^n = -1 y el denominador de la fórmula es negativo. En este caso, la solución es:

x = (2nπ - 4)/5

Podemos verificar que este valor de x satisface las condiciones, por lo que también es una solución válida.

Por lo tanto, el conjunto completo de soluciones de la ecuación es:

x = (2nπ + 4)/7, (2nπ + 11)/7, (2nπ - 4)/5

Donde n es cualquier entero.