Realizar 5 ejercicios combinando 2 O más propiedades de potencia?

1)  Si a^2 = 25 y b^3 = 216, ¿cuál es el valor de (a/b)^2?

Solución: Podemos utilizar la propiedad de la división de potencias para calcular el valor de (a/b)^2:

(a/b)^2 = a^2 / b^2

Podemos sustituir los valores de a^2 y b^2 en la expresión:

(a/b)^2 = 25 / (b^3)^(2/3)

Podemos simplificar esta expresión utilizando la propiedad de la potenciación de una potencia:

(a/b)^2 = 25 / b^2

Podemos sustituir el valor de b^3 en la expresión:

(a/b)^2 = 25 / (216)^(2/3)

Podemos simplificar esta expresión utilizando la propiedad de la potenciación de una raíz:

(a/b)^2 = 25 / 6

2) Simplifique la expresión (2^3 x 3^2) / (4^2 x 9^2) utilizando las propiedades de potencia.

Solución: Podemos simplificar esta expresión utilizando la propiedad de la multiplicación de potencias con la misma base y la propiedad de la división de potencias con la misma base:

(2^3 x 3^2) / (4^2 x 9^2) = [(2^3 / 4^2) x (3^2 / 9^2)]

Podemos simplificar cada fracción utilizando la propiedad de la división de potencias con la misma base:

(2^3 / 4^2) = (2^3 / 2^4) = 1/2 (3^2 / 9^2) = (3^2 / 3^4) = 1/9

Sustituyendo en la expresión original, obtenemos:

(2^3 x 3^2) / (4^2 x 9^2) = [(2^3 / 4^2) x (3^2 / 9^2)] = (1/2) x (1/9) = 1/18

Por lo tanto, la expresión simplificada es 1/18.

Por lo tanto, el valor de (a/b)^2 es 25/6.

3) Si x y y son números positivos, demuestra que (x^2 / y)^-3 x (y^3 / x)^2 = x^2 / y^5

Solución: Para demostrar esta igualdad, podemos utilizar la propiedad de la división de potencias con la misma base, la propiedad de la potencia de un producto y la propiedad de la potencia de una potencia:

(x^2 / y)^-3 x (y^3 / x)^2 = (x^2)^-3 / y^-3 x (y^3)^2 / x^2 = (1 / x^6) / (1 / y^3) x y^6 / x^2 = (y^3 / x^6) x (y^6 / x^2) = y^9 / x^8 = x^2 / y^(-9) = x^2 / y^5

Por lo tanto, hemos demostrado que (x^2 / y)^-3 x (y^3 / x)^2 = x^2 / y^5.

4) Supongamos que una empresa de tecnología tiene un total de 8000 computadoras en stock. De estas computadoras, se sabe que 2/5 son laptops y 3/4 de las laptops tienen una capacidad de almacenamiento de 1 TB o más. Si las laptops que tienen una capacidad de almacenamiento menor a 1 TB se venden a $500 cada una, y las laptops con una capacidad de almacenamiento de 1 TB o más se venden a $1000 cada una, ¿cuál es la cantidad total de dinero que la empresa ganará si vende todas las laptops?

Solución: Primero, debemos determinar la cantidad total de laptops que tienen una capacidad de almacenamiento de 1 TB o más. Sabemos que 2/5 de las computadoras son laptops, lo que significa que hay un total de 8000 x 2/5 = 3200 laptops en stock. De estas laptops, 3/4 tienen una capacidad de almacenamiento de 1 TB o más, lo que significa que hay un total de 3200 x 3/4 = 2400 laptops que se pueden vender a $1000 cada una.

La cantidad de laptops con una capacidad de almacenamiento menor a 1 TB es la diferencia entre todas las laptops y las que tienen una capacidad de almacenamiento de 1 TB o más: 3200 - 2400 = 800 laptops. Estas laptops se venden a $500 cada una.

Entonces, la cantidad total de dinero que la empresa ganará si vende todas las laptops es:

(2400 x $1000) + (800 x $500) = $2,400,000 + $400,000 = $2,800,000

Por lo tanto, la empresa ganará $2,800,000 si vende todas las laptops.

Este ejercicio involucra la propiedad de la multiplicación de potencias con la misma base y la aplicación de operaciones con fracciones.

5) Una muestra de aire contiene una concentración de 2 x 10^-5 ppm (partes por millón) de dióxido de carbono (CO2). Si el volumen de la muestra de aire es de 5000 litros, ¿cuál es la cantidad total de dióxido de carbono en la muestra?

Solución: Para calcular la cantidad total de dióxido de carbono en la muestra, primero debemos convertir la concentración de ppm a una cantidad en volumen. La concentración de 2 x 10^-5 ppm significa que hay 2 partes de dióxido de carbono por cada millón de partes de aire. Esto equivale a 2/1,000,000 = 0.000002 partes de CO2 por parte de aire.

Para calcular la cantidad total de CO2 en la muestra, podemos utilizar la fórmula:

Cantidad de CO2 = Concentración x Volumen

Donde la concentración está en partes por millón y el volumen está en litros. En este caso, la concentración es 0.000002 partes de CO2 por parte de aire y el volumen es 5000 litros:

Cantidad de CO2 = 0.000002 ppm x 5000 litros = 0.01 litros de CO2

Sin embargo, el resultado no está en una unidad conveniente. Podemos utilizar la propiedad de la potencia de una potencia para convertir

A cantidad de CO2 a una unidad más conveniente, como los mililitros. Sabemos que 1 litro equivale a 1000 mililitros, por lo que podemos multiplicar la cantidad de CO2 en litros por 1000 para obtener la cantidad en mililitros:

Cantidad de CO2 = 0.01 litros x 1000 ml/litro = 10 ml de CO2

Por lo tanto, la cantidad total de dióxido de carbono en la muestra es de 10 mililitros. Este ejercicio involucra la propiedad de la multiplicación de potencias y la aplicación de unidades de medida.