Si mal no recuerdo, el asunto era quedarse en el piso de sus padres que habían fallecido.
El procedimiento es una "subrogación" (el subarriendo es otra cosa no aplicable a este caso).
La casera no tiene porqué cambiar de nombre el contrato.
El procedimiento a seguir es notificar fehacientemente (carta certificada, burofax, etc) al casero el fallecimiento del titular del contrato y su intención de subrogarse en el contrato de acuerdo con la Ley de Arrendamientos Urbanos, poniéndose a su disposición para aportar los documentos que estime oportunos (certificado de defunción, padrón municipal que acredite que Ud. vive en el piso los últimos años, etc).
El contrato original permanece igual, y aparece Usted como "subrogado".
Para poner el contrato a nombre de Usted hay que hacer un contrato nuevo (y el casero es libre de pedir las condiciones que estime oportunas).
Suerte.