¿Cómo demostrar que un conjunto es un campo?
$$\begin{align}&\text {Sea $\mathbb{Q}(\sqrt p)={\{a+b\sqrt p}$| p es primo y a,b son racionales\}}\\&\text{a)Demostrar que $\mathbb{Q}$ es subconjunto de$ \mathbb{Q}(\sqrt p)$}\\&\text {b) Demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt p)$ es un campo}\end{align}$$
1 respuesta
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a) Q es el subconjunto que se obtiene cuando hacemos b=0, ya que entonces la descripción de es conjunto dificilmente escribible se queda en
={a | a es racional} = Q
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b)
El conjunto inescribible es un subconjuto de R ya que R incluye todas las operaciones con irracionales tales como las raíces de números primos. Y como (R,+,·) es un cuerpo veamos que ese conjunto es un subcuerpo de R. Para ello debe cumplir estas tres condiciones
1) No ser un conjunto vacío
2) x + (-y) = x - y pertenezca al conjunto, voy a llamarlo P, para todos a y b de P
3) x·(y^1) = a/b pertenezca al conjunto para todos x y y de P-{0}
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1) No es el conjunto vacío 0 pertenece a él
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2)
Sean
$$\begin{align}&x= a+b \sqrt p\\&y = c + d \sqrt{}p\\&\\&x - y = (a+b \sqrt p)-(c+d \sqrt p) =\\&(a-c) + (b-d)\sqrt p\in \mathbb Q(\sqrt p)\\&\\&\frac xy=\frac{a+b \sqrt p}{c+d \sqrt p}=\frac{a+b \sqrt p}{c+d \sqrt p}·\frac{c-d \sqrt p}{c-d \sqrt p}=\\&\\&\frac{ac+(bc-ad)\sqrt p-bdp}{c^2-d^2p}=\\&\\&\text{notese que el denominador no puede ser 0}\\&\\&\frac{ac-bdp}{c^2-d^2p}+ \frac{bc-ad}{c^2-d^2p}\sqrt p\in\mathbb Q(\sqrt p)\end{align}$$Luego es un subcuerpo de R y por lo tanto un cuerpo.
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Y eso es todo.
tengo una duda nada más, ¿qué propiedades debe tener un campo?
La operación suma debe ser un grupo abeliano.
-Asociativa
-Elemento neutro
-Elemento inverso
- Conmutiativa
La operación producto aplicada a todos los elementos salvo el 0 debe ser otro grupo abeliano, las mismas propiedades de antes
Y debe tener la propiedad distributiva del producto respecto la suma
a(b+c) = ab + ac
Y eso es todo.
disculpe, ¿cómo se asegura que en el paso 3 el denominador es distinto de cero?
No puede ser 0 porque
$$\begin{align}&c^2-d^2p = 0 \\&\text{con c, d racionales y p primo}\\&\text{ponemos cy d como fraccciones}\\&\left(\frac{s}{t}\right)^2-\left(\frac{u}{v}\right)^2p=0\\&\\&\frac{s^2}{t^2}-\frac{u^2p}{v^2}=0\\&\\&\frac{s^2v^2-u^2t^2p}{t^2v^2}=0\\&\\&s^2v^2-u^2t^2p=0\\&\\&s^2v^2=u^2t^2p\\&absurdo\end{align}$$El lado izquierdo es un cuadrado perfecto, pero el derecho no puede serlo porque p es primo y como tal no puede ser un cuadrado.
Y eso es todo.
