¿Qué es un vector?

Habitualmente tratamos de visualizar un vector como un camino entre dos puntos de un espacio de dos o tres dimensiones, de forma que dado un punto A(para, ya, za) y un punto B(xb, yb, zb), el vector que va desde A a B es AB=(xb-para, yb-ya, zb-za).
Esto no es del todo completo, pues aunque eso sea un Vector del RxRxR, no es el único caso en el que podemos encontrar vectores.
La respuesta verdadera es:
"Un vector es un elemento de un espacio vectorial"
Siendo un espacio vectorial un conjunto V de elementos (vectores), en el cual se ha definido dos operaciones
+ Suma: VxV-->V (operación interna)
. Producto por escalar: KxV-->V (operación externa)
Que cumplen una serie de propiedades ( asociativa, conmutativa...)
Siendo QUE otro conjunto en los que hay definidos otras dos operaciones ( diferentes a las anteriores, aunque con el mismo nombre)
+:Suma: KxK--->K
*:Producto: KxK--->
Que cumple una serie de propiedades que hacen que QUE con esas operaciones tenga estructura de cuerpo.
Quiero decir con ésto, que el ejemplo primero sí es en realidad un vector, pero también lo es una matriz, una función... o cualquier elemento de un conjunto que cumpla todas las propiedades exigidas y sobre un cuerpo que también cumpla sus propiedades.