Problema de termotecnia

Primero existirá un régimen transitorio, en el que las temperaturas de cada sección varían en el tiempo, que se irá estabilizando asintóticamente hacia un equilibrio entre el calor aportado por los extremos y el transmitido por convección al aire que envuelve la barra.
Aplicando el método de elementos finitos, suponiendo rodajas de espesor dl, tienes para cada una de estas rodajas tres flujos de calor: el que le entra por conducción desde la rodaja contigua más caliente, el que sale hacia la rodaja contigua más fría y el que sale por convección al aire. Cada uno de estos flujos tiene lugar a través de unas superficies pi. R2, en el caso de las dos primeras, y 2.pi.r.dl en el caso de la convección.
Suponiendo, por ejemplo rodajas de 1 mm de espesor, puedes realizar un programita iterativo que realice para cada rodaja, y partiendo de una condiciones iniciales de temperatura de todas las secciones igual a 22 C, con un incremento temporal por ejemplo de 1 s, que calcule en cada uno de los instantes (segundos) el calor adquirido y cedido.
Para saber si estás cerca o lejos del régimen continuo, puedes comparar en cada iteración la temperatura de cada rodaja con la del instante anterior, y marcar un "error" admisible, por ejemplo 0,01 C, que suponga el final de las iteraciones. Cuando el programa se detenga, debido a que todas las rodajas han alcanzado una diferencia de temperatura respecto al instante anterior inferior al error admisible, si miras las temperaturas de cada una de ellas, veras que hay dos que tienen la temperatura más baja, y será muy parecida. Esta es la respuesta a tu problema.
Una vez programado esto, puedes ir reduciendo el espesor de las rodajas y el incremento temporal, incluso el error admisible, lo que te dará más exactitud a la solución, pero tardara más en ejecutarse.