Evalúe cada integral de los incisos,interpretándola en términos de áreas.
Esta pregunta es de calculo integral. Interpretación de áreas, es decir calcular la integral por diferencias de áreas. Evalúe cada integral de los incisos, interpretándola en términos de áreas.
$$\begin{align}&∫_0^2▒f(x)dx\\&\end{align}$$$$\begin{align}&∫_0^5▒f(x)dx\\&\end{align}$$$$\begin{align}&∫_5^7▒f(x)dx\\&\end{align}$$$$\begin{align}&∫_0^9▒f(x)dx\\&\end{align}$$
1 Respuesta
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¡Hola Esteban!
Si no me dices qué función es f(x) no podemos hacer níngun cálculo. Simplemente podemos decir que es el área comprendida entre la función, el eje X y las rectas x=a y x=b donde a es el límite inferior de integración y b el superior.
Así en la primera sería el área comprendida entre f(x), el eje X y las rectas x=0 y x=2
En la segunda sería el área comprendida entre f(x), el eje X y las rectas x=0 y x=5
En la tercera sería el área comprendida entre f(x), el eje X y las rectas x=5 y x=7
Y en la cuarta sería el área comprendida entre f(x), el eje X y las rectas x=0 y x=9
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Pero lo que te decía, si no conocemos f(x) no se puede hacer más.
Saludos.
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Hola Ángel, te pido una disculpa y te anexo la gráfica de la función. Un abrazo!!
¡Ah, esto es otra cosa!
Como te decía antes la integral es el área entre la función, el eje X y los extremos de integración. A esto hay que añadir que cuando la función está por debajo del eje X el área tiene signo negativo.
Entonces tenemos:
a) Integral entre 0 y 2
Entre 0 y 2 puedes ver un trapecio puesto en vertical o puedes descomponer la figura en un rectángulo abajo y un triángulo arriba, mejor hacemos esto segundo.
El rectángulo tiene base 2 y altura 2, luego su área es 2·1 = 2
El triángulo tiene base 2 y altura 2, luego el área es 2·2/2 = 4/2 = 2
Así la integral entre 0 y 2 vale 2+2=4
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b) Integral entre 0 y 5.
La integral entre 0 y 2 ya se calculo antes, vale 4.
Nos queda calcular la integral entre 2 y 5 para sumarla a la anterior. La podemos descomponer en un rectángulo a la izquierda y un triángulo a la derecha
El rectángulo tiene base 1 y altura 3, su área es 1·3 = 3
El tríangulo tiene base 2 y altura 3, su área es 2·3/2 = 6/2 = 3
Luego la integral entre 0 y 5 es 4+3+3 = 10
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c) Entre 5 y 7 hay un triángulo, pero ojo, con altura negativa respecto al eje X, por eso la integral será negativa.
Dicho triángulo tiene base=2 y altura 2, su área es 2·3/2 = 3
Y la integral entre 5 y 7 es -3
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d) La integral entre 0 y 9 la podemos dividir en integrales ya calculadas
$$\begin{align}&\int_0^9f(x)dx=\int_0^5 f(x)dx+\int_5^7 fx(dx)+\int_7^9 f8x)dx=\\&\\&\text{las dos primeras ya se calcularon}\\&\\&= 10-3+\int_7^9 f8x)dx=\\&\\&\text{Entre 7 y 9 hay un cuadrado 2x2 y un triangulo 2x1}\\&\text{el área del cuadrado es }2·2=4\\&\text{la del triángulo es} \frac{2·1}{2}=1\\&\text{el area total es }4+1=5\\&\text{pero está toda ella debajo del eje X luego}\\&\\&\int_7^9f(x)dx=-5\\&\\&\text{Y por lo tanto }\\&\\&\int_0^9 f(x)dx=10-3-5 = 2\end{align}$$:
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