Conteo
Hola, quería hacerles una pregunta muy newbie pero quiero confirmar cómo se hace esto:
¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 6 hombres y 6 mujeres en una mesa circular si nunca deben quedar dos mujeres juntas?
Y lo mismo pero con 10 hombres y 7 mujeres.
Es un problema muy conocido de conteo, y para mí el primero es ((6! )*(6!)/6), porque primero defino donde se sientan los hombres, y luego las mujeres, así que son permutaciones, pero como si rotamos las ubicaciones volvemos a tener la misma formación pues divido por 6, aunque no sé si es como lo escribí antes o así: ((6! )/6)*(6!)
El otro con 10 hombres y 7 mujeres, pues supongo que es ((10! )/10)*120
Donde 120 es el numero combinatorio (10 7)
Corríjanme si estoy mal, saludos a todos!
¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 6 hombres y 6 mujeres en una mesa circular si nunca deben quedar dos mujeres juntas?
Y lo mismo pero con 10 hombres y 7 mujeres.
Es un problema muy conocido de conteo, y para mí el primero es ((6! )*(6!)/6), porque primero defino donde se sientan los hombres, y luego las mujeres, así que son permutaciones, pero como si rotamos las ubicaciones volvemos a tener la misma formación pues divido por 6, aunque no sé si es como lo escribí antes o así: ((6! )/6)*(6!)
El otro con 10 hombres y 7 mujeres, pues supongo que es ((10! )/10)*120
Donde 120 es el numero combinatorio (10 7)
Corríjanme si estoy mal, saludos a todos!
1 respuesta
Respuesta de eudemo
1
((6!)*(6!)/6) está perfecto.
((6!)/6)*(6!) es lo mismo (el orden de los factores no altera el producto)
Fijate que ((6!)/6)*(6!)= 5!*6!
Y se puede interpretar como que:
Una ronda de seis hombres es lo mismo que una fila de cinco, si dejamos un hombre fijo como referencia y movemos solo los cinco restantes.
El caso de 10 hombres y 7 mujeres es muy distinto.
Si tengo igual cantidad de hombres que de mujeres la única configuración posible sin tener dos mujeres juntas es:
H M H M H M H M H M H M
Donde tampoco tengo 2 hombres juntos.
Con 10 hombres y 7 mujeres voy a tener algunos hombres sentados en lugares consecutivos. No obstante cada disposición como por ejemplo
H M H HM HH M H M H M HH M H M
tiene como antes 10!*7!/10=9!*7! posibles maneras.
H1 M H2 M H3 M H4 M H5 M H6 M H7 M
Aquí tengo siete hombres.
a) Puedo tener un grupo de 4 hombres.
b) Puedo tener un grupo de 3 hombres y un grupo de 2
c) Puedo tener tres grupos de 2 hombres
En el caso a) ¿El grupo de 4 hombres puede ocupar el lugar de H1, H2,?. O H7
Es decir tengo 7 maneras
En el caso b) tengo siete opciones para el grupo de tres hombres y seis opciones para el grupo de dos = 42 maneras
En el caso c) tengo 7*6*5/3!=35 maneras
En total tengo 7+42+35=84 estructuras posibles.
En realidad este número lo podemos obtener en forma más general simplemente tomando las combinaciones con repetición de m=7 elementos en tres lugares n=3 que es igual a
(n+m-1).(n+m-2). .... .n/n! (combinaciones con repetición de m en n)
En nuestro caso (7+3-1)...7/3!=9*8*7/3!=84
Que coincide con el valor anterior.
Como cada configuración admite 9! *7! Maneras cambiando solo los hombres y mujeres.
El número total de maneras será entonces:
(9!*7!)* 84
Saludillos
Eudemo
((6!)/6)*(6!) es lo mismo (el orden de los factores no altera el producto)
Fijate que ((6!)/6)*(6!)= 5!*6!
Y se puede interpretar como que:
Una ronda de seis hombres es lo mismo que una fila de cinco, si dejamos un hombre fijo como referencia y movemos solo los cinco restantes.
El caso de 10 hombres y 7 mujeres es muy distinto.
Si tengo igual cantidad de hombres que de mujeres la única configuración posible sin tener dos mujeres juntas es:
H M H M H M H M H M H M
Donde tampoco tengo 2 hombres juntos.
Con 10 hombres y 7 mujeres voy a tener algunos hombres sentados en lugares consecutivos. No obstante cada disposición como por ejemplo
H M H HM HH M H M H M HH M H M
tiene como antes 10!*7!/10=9!*7! posibles maneras.
H1 M H2 M H3 M H4 M H5 M H6 M H7 M
Aquí tengo siete hombres.
a) Puedo tener un grupo de 4 hombres.
b) Puedo tener un grupo de 3 hombres y un grupo de 2
c) Puedo tener tres grupos de 2 hombres
En el caso a) ¿El grupo de 4 hombres puede ocupar el lugar de H1, H2,?. O H7
Es decir tengo 7 maneras
En el caso b) tengo siete opciones para el grupo de tres hombres y seis opciones para el grupo de dos = 42 maneras
En el caso c) tengo 7*6*5/3!=35 maneras
En total tengo 7+42+35=84 estructuras posibles.
En realidad este número lo podemos obtener en forma más general simplemente tomando las combinaciones con repetición de m=7 elementos en tres lugares n=3 que es igual a
(n+m-1).(n+m-2). .... .n/n! (combinaciones con repetición de m en n)
En nuestro caso (7+3-1)...7/3!=9*8*7/3!=84
Que coincide con el valor anterior.
Como cada configuración admite 9! *7! Maneras cambiando solo los hombres y mujeres.
El número total de maneras será entonces:
(9!*7!)* 84
Saludillos
Eudemo
