Si que existe, es sencilla.
T(x,y,z,w) = (x, y, x+y, x+y)
No cuesta nada comprobar que es lineal.
T(x1,y1,z1,w1) + T(x2,y2,z2,w2) =
(x1, y1, x1+y1, x1+y1) + (x2, y2, x2+y2, x2+y2) =
(x1+x2, y1+y2, x1+y1+x2+y2, x1+y1+x2+y2)=
T(x1+x2, y1+y2, z1+z2, w1+w2)
T[k(x,y,z,w)] = T(kx,ky,kz,kw) =
(kx, ky, kx+ky, kx+ky) =
k(x, y, x+y, x+y)=
k·T(x,y,z,w)
Y el conjunto imagen es Nu(T)
Por construcción se verifica que
T(x,y,z,w) = (x , y, x+y, x+y) € Nu(T)
luego Im(T) incluido o igual que Nu(T)
Sea ahora un vector de Nu(T)
(x,y, z, w) tal que z = x+y , w=x+y
luego es
(x,y, x+y, x+y)
Y cualquier vector de R4 de la forma
(x, y, lo que sea, lo que sea) tiene por imagen ese vector.
Luego Nu(T) incluido o igual que Im(T)
Y de las dos inclusiones se deduce que Im(T) = Nu(T)
Y eso es todo.
