Ecuación de onda
Hola Eudemo, yo de nuevo. El tema es que trate de reemplazar F = 1/r sen(w t- w/v r) con sus derivadas según la ecuación: 1/r dF/dr + d2F/dr2 = que d2F/dt2 pero no me funciona para el caso en cilíndricas.
Trate también F = 1/r ^2 sen(w t- w/v r) (1) con sus derivadas según la ecuación: 2/r dF/dr + d2F/dr2 = k d2F/dt2 para el caso de esféricas pero tampoco. Siempre llego a situaciones del tipo [ P1(r) sen(A) + P2(r) cos (A) = 0 ] (2) donde A=(w t- w/v r) y P1(r) y P2(r) son polinomios de r ( x ej P1( r ) = a1 r + a2 r^2+ ..... )
Entonces digo para anular la ecuación (2) debe ser P1(r) y P2(r) = 0 y para que P1(r) y P2(r) sean =0 y no dependan de r los diferentes ai de los polinomios, que son expresiones de los parámetros de (1) ( que, w, v ), debe cumplirse que los ai=0 y así obtener la solución adecuada.
Como te digo hago todas las cuentas y no llego a la solución. Te podrás fijar, si contás con el tiempo suficiente o cuando puedas hacerlo, si por ejemplo F = 1/r ^2 sen(w t- w/v r) cumple con la ecuación 1/r dF/dr + d2F/dr2 = que d2F/dt2. Hice varias veces el calculo pero nunca llego a una solución satisfactoria. Lo raro es que esa solución aparece en todos lados como solución de la ecuación de onda.
Desde ya muchas gracias.
Trate también F = 1/r ^2 sen(w t- w/v r) (1) con sus derivadas según la ecuación: 2/r dF/dr + d2F/dr2 = k d2F/dt2 para el caso de esféricas pero tampoco. Siempre llego a situaciones del tipo [ P1(r) sen(A) + P2(r) cos (A) = 0 ] (2) donde A=(w t- w/v r) y P1(r) y P2(r) son polinomios de r ( x ej P1( r ) = a1 r + a2 r^2+ ..... )
Entonces digo para anular la ecuación (2) debe ser P1(r) y P2(r) = 0 y para que P1(r) y P2(r) sean =0 y no dependan de r los diferentes ai de los polinomios, que son expresiones de los parámetros de (1) ( que, w, v ), debe cumplirse que los ai=0 y así obtener la solución adecuada.
Como te digo hago todas las cuentas y no llego a la solución. Te podrás fijar, si contás con el tiempo suficiente o cuando puedas hacerlo, si por ejemplo F = 1/r ^2 sen(w t- w/v r) cumple con la ecuación 1/r dF/dr + d2F/dr2 = que d2F/dt2. Hice varias veces el calculo pero nunca llego a una solución satisfactoria. Lo raro es que esa solución aparece en todos lados como solución de la ecuación de onda.
Desde ya muchas gracias.
1 Respuesta
Respuesta de eudemo
1
Debo pedirte disculpas
Porque cometí un error en el final de la última respuesta.
En la onda esférica la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud . Entonces en la onda esférica la energía es proporcional a 1/r^2 y la amplitud es proporcional a 1/r
El caso de ondas con simetría cilíndrica la solución se basa en las funciones de Bessel y para r tendiendo a infinito la energía varia según: (1/r) y la amplitud varia según: Raíz(1/r).
****************************
El caso de simetría esférica
El Laplaciano en coordenadas esféricas es
Laplaciano de F = (1/r^2) . d/dr [r^2. dF/dr] + (1/r^2 sen theta).d/theta[sen theta dF/dtheta] + (1/r^2 sen^2 theta) dF/dfi
Si hay simetría y F no depende de theta ni de fi es
Laplaciano F = (1/r^2) . d/dr [r^2. dF/dr]
F (r;t) = (1/r) sen (kr-wt)
dF/dr = k/r cos (kr-wt) - (1/r^2) sen (kr-wt)
Multiplicamos por r^2 y queda
r^2 dF/dr=k r cos (kr-wt) - sen (kr-wt)
Ahora derivamos nuevamente con respecto a r
-k^2 r sen (kr-wt) +k cos (kr-wt)- k cos(kr-wt)= -k^2 r sen (kr-wt)
y finalmente dividimos por r^2
Laplaciano F = -k^2 (1/r) sen (kr-wt)
O sea que , obtuvimos es la función F multiplicada por -k^2
Si derivamos 1/r sen (kr-wt) con respecto a t dos veces es
d2F/dt2 = - w^2 sen (kr-wt)
Por lo tanto si es w/k = c se cumple la ecuación
c^2 Laplaciano F = d2F/dt2
En realidad no solo F(r ; t) = (1/r) sen (kr-wt) cumple la ecuación .
Si ponemos F(r ; t) = (1/r) G(kr-wt) donde G es cualquier función de kr-wt también verifica la ecuación.
Seguimos en contacto
Eudemo
Porque cometí un error en el final de la última respuesta.
En la onda esférica la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud . Entonces en la onda esférica la energía es proporcional a 1/r^2 y la amplitud es proporcional a 1/r
El caso de ondas con simetría cilíndrica la solución se basa en las funciones de Bessel y para r tendiendo a infinito la energía varia según: (1/r) y la amplitud varia según: Raíz(1/r).
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El caso de simetría esférica
El Laplaciano en coordenadas esféricas es
Laplaciano de F = (1/r^2) . d/dr [r^2. dF/dr] + (1/r^2 sen theta).d/theta[sen theta dF/dtheta] + (1/r^2 sen^2 theta) dF/dfi
Si hay simetría y F no depende de theta ni de fi es
Laplaciano F = (1/r^2) . d/dr [r^2. dF/dr]
F (r;t) = (1/r) sen (kr-wt)
dF/dr = k/r cos (kr-wt) - (1/r^2) sen (kr-wt)
Multiplicamos por r^2 y queda
r^2 dF/dr=k r cos (kr-wt) - sen (kr-wt)
Ahora derivamos nuevamente con respecto a r
-k^2 r sen (kr-wt) +k cos (kr-wt)- k cos(kr-wt)= -k^2 r sen (kr-wt)
y finalmente dividimos por r^2
Laplaciano F = -k^2 (1/r) sen (kr-wt)
O sea que , obtuvimos es la función F multiplicada por -k^2
Si derivamos 1/r sen (kr-wt) con respecto a t dos veces es
d2F/dt2 = - w^2 sen (kr-wt)
Por lo tanto si es w/k = c se cumple la ecuación
c^2 Laplaciano F = d2F/dt2
En realidad no solo F(r ; t) = (1/r) sen (kr-wt) cumple la ecuación .
Si ponemos F(r ; t) = (1/r) G(kr-wt) donde G es cualquier función de kr-wt también verifica la ecuación.
Seguimos en contacto
Eudemo
Muchas gracias por el tiempo dedicado Eudemo. Ahora si me cierra. Sin duda estaba cometiendo un error. Estoy un poco olvidado de todo esto. Estamos en contacto.
