1 Respuesta
4.100)
Un variable de Poisson tiene como función de probabilidad
f(k, t) = e^(-t)·t^k / k!
donde t es como la letra lambda de los textos y k el número exacto de ocurrencias.
Las probabilidades de X1=0 y X2=0, supuesto que sus medias son t1 y t2 son
P(X1=0) = e^(-1/t1) · (1/t1)^0 / 0! = e^(-1/t1)
P(X2=0) = e^(-1/t2)
Como
t2 > t1 ==>
1/t2 < 1/t1 ==>
-1/t2 > -1/t1 ==>
e^(-1/t2) > e^(-1/t1) ==>
P(X2=0) > P(X1=0)
¡Qué extraño a mi me sale lo contrario! Lo comprobaré con mayor seguridad, peo me parece que pueden haberse equivocado en el enunciado.
Ahora voy a dejarlo que algunos ejercicios te consumen
Espera, era yo el equivocado, con tanta mezcla de distribuciones se lía uno. Hay algunas que la media es 1/lambda ny se estaban dando mucho últimamente y hemos vuelto a la v.a. de Poisson donde la media es lambda.
Entonces:
P(X1=0) = e^(-t1) · (t1)^0 / 0! = e^(-t1)
P(X2=0) = e^(-t2)
Entonces la cadena de desigualdades verdadera es esta:
t2 > t1 ==>
-t2 < t1 ==>
e^(-t2) < e^(-t1) ==>
P(X2=0) < P(X1=0)
b) Me lo escribo aquí que ya no se ve la pregunta de arriba. Sea k cualquier entero positivo fijo. Demostrar que P(X1 <= k) = P(Y > t1) y P(X2 <= k) = P(Y > t2) donde Y es una distribución gamma con alfa=k+1 y Beta=1
Vayamos expresando cada cosa
P(X1 <= k) = Sum i=0,k de e^(-t1)·(t1)^i / i!
P(X2 <= k) = Sum i=0,k de e^(-t2)·(t2)^i / i!
Donde Sum i=0, k significa sumatorio desde i=0 hasta k
Y lo que hay que hacer es comparar esta expresión con la que aparece al principio del ejercicio
[Sum x=0,a-1 de y^x·e^(-y) / x!] = P(Y > y)
donde Y es una Gamma de parámetro a=alfa mayor que cero y B=Beta=2
Vamos a ponerla con los mismos índices para verlo mejor, hagamos k=a-1 e y=t1
Sum i=0,k de e^(-t1)·(t1)^i / i! = P(Y > t1)
Los sumatorios han quedado idénticos, luego igualamos los otros miembros
P(X1 <= k) = P(Y > t1) que es lo que nos pedían.
Análogamente se demuestra para X2
c) Sea k cualquier entero positivo. Use el resultado de b y que t2 > t1 para demostrar que
P(X1 <= k) > P(X2 <= k)
Por el resultado de b tendremos
P(X1 <= k) = P(Y > t1)
P(X2 <= k) = P(Y > t2)
La probabilidad de que la v.a. Y sea mayor que una cantidad es decreciente, cuanto mayor es esa cantidad menos probabilidad hay.
Como t2>t1
P(Y > t2) < P(Y > t1)
Poniendo los términos que son iguales en X1 y X2 tenemos
P(X2 <= k) < P(X1 <= k) que es eso mismo que nos piden aunque lo haya escrito al contrario.
d) Como resultado de los incisos c y a hemos establecido que
P(X1 <= k) > P(X2 <= k) para toda k=0,1,2,..
Interprete el resultado.
Pues nos dice que la función de distribución de Poisson es mayor si la media es menor. Si hacemos la gráfica, la de media menor irá siempre por arriba que la de media mayor, aunque ambas acabarán llegando a valer 1 en el infinito.
Y eso es todo, ha sido algo lioso por no disponer del libro físicamente, pero no muy difícil.
