Ayuda con el cálculo matemático de problemas económicos
Ayúdeme con estos 2 ejercicios
20. El ingreso per caapita promedio en cierto pais al tiempo t es igual a W = 6000+500t+10t2 (W en dolares
y t en años). El tamaño de la poblacion en el instante t (en millones) es P = 10 + 0:2t + 0:01t2. Calcule
la tasa de cambio del PNB en el instante t. (Sugerencia: PNB =tamaño de la poblacion x ingreso per capita). R: 6200 + 520t + 21t2 + 0:4t3
21. Al derretirse una bola de nieve con radio inicial de 12 cm, su radio decrece a una razón constante.
Comienza a derretirse cuando t = 0 (horas) y tarda 12 horas en desaparecer
(¿a) Cuál es la razón de cambio del volumen cuando t = 6?
(b) cual es la razon de cambio promedio del volumen de t = 3 a t = 9?
R: -144cm3/hora; -156 pi cm3/hora
20. El ingreso per caapita promedio en cierto pais al tiempo t es igual a W = 6000+500t+10t2 (W en dolares
y t en años). El tamaño de la poblacion en el instante t (en millones) es P = 10 + 0:2t + 0:01t2. Calcule
la tasa de cambio del PNB en el instante t. (Sugerencia: PNB =tamaño de la poblacion x ingreso per capita). R: 6200 + 520t + 21t2 + 0:4t3
21. Al derretirse una bola de nieve con radio inicial de 12 cm, su radio decrece a una razón constante.
Comienza a derretirse cuando t = 0 (horas) y tarda 12 horas en desaparecer
(¿a) Cuál es la razón de cambio del volumen cuando t = 6?
(b) cual es la razon de cambio promedio del volumen de t = 3 a t = 9?
R: -144cm3/hora; -156 pi cm3/hora
Respuesta de Fran José García
1
Te resuelvo los problemas.
En el primero tenemos las siguientes funciones
W(t) = 6000+500t+10t^2
P(t) = 10+0.2+0.01t^2
Como sugerencia nos dicen que
PNB(t) = W(t)·P(t) = (6000+500t+10t^2)(10+0.2+0.01t^2) = 0.1t^4+7t^3+260t^2+6200t+60000
Entonces nos piden la tasa de cambio de PNB(t)
Entonces solo tenememos que calcular su derivada y llagamos a su solución
PNB'(t) = 0.4t^3 + 21t^2 + 520t + 6200
El segundo también es sencillito.
La bola tiene radio 12cm en t = 0 y radio = 0, en t=12 y como la razón de cambio es constante esto nos indica que se trata de una función lineal, es decir, la función radio es
R(t) = 12 - t con 0<= t <= 12
Pero las preguntas van en función del volumen de la bola, el volumen de una esfera se calcula así
V = (4·Pi/3)r^3
donde r es el radio.
Entonces sustituirmos la función R(t), en el volumen y obtenemos el volumen de la bola en el tiempo "t", esto es
V(t) = (4·Pi/3)R(t)^3 = (4·Pi/3)(12-t)^3
entonces la razón de cambio viene dada por la derivada
V'(t) = -4Pi(12-t)^2
entonces la razón de cambio en t = 6 ,es
V'(6) = -144·Pi cm^3/hora
El segundo apartado nos piden el cambio promedio de volumen, entonces sabemos que tenemos que trabajar con V(t), ahora, la razón de cambio promedio de una función en un intervalo (a, b) viene dada por
(f(b)-f(a))/(b-a)
entonces la razón de cambio promedio del volumen en (3;9) es
(V(9)-V(3))/(9-3) = (36Pi - 972Pi)/3 = -156·Pi cm^3/hora
En el primero tenemos las siguientes funciones
W(t) = 6000+500t+10t^2
P(t) = 10+0.2+0.01t^2
Como sugerencia nos dicen que
PNB(t) = W(t)·P(t) = (6000+500t+10t^2)(10+0.2+0.01t^2) = 0.1t^4+7t^3+260t^2+6200t+60000
Entonces nos piden la tasa de cambio de PNB(t)
Entonces solo tenememos que calcular su derivada y llagamos a su solución
PNB'(t) = 0.4t^3 + 21t^2 + 520t + 6200
El segundo también es sencillito.
La bola tiene radio 12cm en t = 0 y radio = 0, en t=12 y como la razón de cambio es constante esto nos indica que se trata de una función lineal, es decir, la función radio es
R(t) = 12 - t con 0<= t <= 12
Pero las preguntas van en función del volumen de la bola, el volumen de una esfera se calcula así
V = (4·Pi/3)r^3
donde r es el radio.
Entonces sustituirmos la función R(t), en el volumen y obtenemos el volumen de la bola en el tiempo "t", esto es
V(t) = (4·Pi/3)R(t)^3 = (4·Pi/3)(12-t)^3
entonces la razón de cambio viene dada por la derivada
V'(t) = -4Pi(12-t)^2
entonces la razón de cambio en t = 6 ,es
V'(6) = -144·Pi cm^3/hora
El segundo apartado nos piden el cambio promedio de volumen, entonces sabemos que tenemos que trabajar con V(t), ahora, la razón de cambio promedio de una función en un intervalo (a, b) viene dada por
(f(b)-f(a))/(b-a)
entonces la razón de cambio promedio del volumen en (3;9) es
(V(9)-V(3))/(9-3) = (36Pi - 972Pi)/3 = -156·Pi cm^3/hora
