Conjetura de golbach
1) Encuentre el menor entero positivo n para el cual la función f(n) es compuesto si:
a) f(n) = n^2 + n + 17
b) f(n) = n^2 + 21n + 1
c) f(n) = 3n^2 + 3n + 23
Por agradezco su ayuda...
a) f(n) = n^2 + n + 17
b) f(n) = n^2 + 21n + 1
c) f(n) = 3n^2 + 3n + 23
Por agradezco su ayuda...
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
El ejercicio a me suena a uno que ya hice, por eso me pongo con el.
f(n) = n^2 + n +17 = n(n+1) + 17
Si hacemos n(n+1) múltiplo de 17, f(n) también será múltiplo de 17. Tomando n= 16 se consigue eso porque el segundo factor (n+1) se hace 17. No hay ningún a anterior porque números menores no pueden dar por multiplicación 17 cuando 17 es número primo
f(n) = 16(17)+17 que no hace falta hacer cuentas para ver que es múltiplo de 17.
Ahora tengo que ir a dormir, ya resolveré el resto.
f(n) = n^2 + n +17 = n(n+1) + 17
Si hacemos n(n+1) múltiplo de 17, f(n) también será múltiplo de 17. Tomando n= 16 se consigue eso porque el segundo factor (n+1) se hace 17. No hay ningún a anterior porque números menores no pueden dar por multiplicación 17 cuando 17 es número primo
f(n) = 16(17)+17 que no hace falta hacer cuentas para ver que es múltiplo de 17.
Ahora tengo que ir a dormir, ya resolveré el resto.
El c también es similar
f(n) = 3n^2 + 3n + 23 = 3n(n+1) + 23 Si hacemos n =22 tendremos uno de los factores = 23 y ya está
f(n) = 3·22·23 + 23
f(n) = 3n^2 + 3n + 23 = 3n(n+1) + 23 Si hacemos n =22 tendremos uno de los factores = 23 y ya está
f(n) = 3·22·23 + 23
Ya estoy de nuevo. Anoche vi la pregunta y por contestar rápidamente no lo hice bien del todo.
En los ejercicios b y c dada un valor a n para el que se cumplía que f(n) era un número compuesto. Pero de ninguna forma se garantizaba que ese n fuera el mínimo, simplemente se daba una respuesta rápida sin necesidad de hacer cuentas.
No sé que teoremas estarás dando en la asignatura que yo no la estudié. Y no sé si servirían para confirmar que esos n son los mínimos. Yo lo único que puedo hacer es confirmarlo con un mini programa de ordenador hecho a propósito en RealBasic.
Dim i,n,m,k as integer
dim fin as boolean
fin = false
n= 1
Do
m = n^2 + n + 17
if (m mod 2) = 0 then
StaticText1.text=str(n)
fin=true
else
k = sqrt(m)
for i= 3 to k step 2
if (m mod i) = 0 then
StaticText1.text=str(n)
fin = true
end if
next
end if
n=n+1
loop until fin
Donde la línea
m = n^2 + n + 17
Se cambia según sea el ejercicio por estas otras:
m = n^2 + 21*n + 1 (en el b)
m = 3*n^2 + 3*n + 23 (en el c)
Y el programa da:
n= 16 en el a.
n= 18 en el b.
n= 22 en el c.
Que corrobora lo que había adelentado.
Sobre el ejercicio b no había encontrado forma de obtener una solución rápida tal como en los otros. Una vez sabida por el ordenador es cuando sin decir nada se hacen trapicheos y se dice:
f(n) = n^2 + 21n +1 =
n^2 + 2n + 1 + 19n = Como tenemos un cuadrado en los tres sumandos primeros
(n+1)^2 + 19n.
Si hacemos que el primer sumando sea multiplo de 19 tendremos un número compuesto, luego hagamos (n+1) = 19 ==> n = 18 y ya está.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerra la pregunta.
En los ejercicios b y c dada un valor a n para el que se cumplía que f(n) era un número compuesto. Pero de ninguna forma se garantizaba que ese n fuera el mínimo, simplemente se daba una respuesta rápida sin necesidad de hacer cuentas.
No sé que teoremas estarás dando en la asignatura que yo no la estudié. Y no sé si servirían para confirmar que esos n son los mínimos. Yo lo único que puedo hacer es confirmarlo con un mini programa de ordenador hecho a propósito en RealBasic.
Dim i,n,m,k as integer
dim fin as boolean
fin = false
n= 1
Do
m = n^2 + n + 17
if (m mod 2) = 0 then
StaticText1.text=str(n)
fin=true
else
k = sqrt(m)
for i= 3 to k step 2
if (m mod i) = 0 then
StaticText1.text=str(n)
fin = true
end if
next
end if
n=n+1
loop until fin
Donde la línea
m = n^2 + n + 17
Se cambia según sea el ejercicio por estas otras:
m = n^2 + 21*n + 1 (en el b)
m = 3*n^2 + 3*n + 23 (en el c)
Y el programa da:
n= 16 en el a.
n= 18 en el b.
n= 22 en el c.
Que corrobora lo que había adelentado.
Sobre el ejercicio b no había encontrado forma de obtener una solución rápida tal como en los otros. Una vez sabida por el ordenador es cuando sin decir nada se hacen trapicheos y se dice:
f(n) = n^2 + 21n +1 =
n^2 + 2n + 1 + 19n = Como tenemos un cuadrado en los tres sumandos primeros
(n+1)^2 + 19n.
Si hacemos que el primer sumando sea multiplo de 19 tendremos un número compuesto, luego hagamos (n+1) = 19 ==> n = 18 y ya está.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerra la pregunta.
