Congruencia 2da parte

1)
Un sistema completo de residuos módulo n es un conjunto de números cuyos restos al dividir por n son todos los posibles (0,1,..., n-1) y sin repetirse ninguno.
Tomemos los numeros aa1, aa2,..., aan y veamos que son un sistema completo. En principio son n elementos, luego lo único que hace falta comprobar es que no haya dos que tengan el mismo resto.
Supongamos aai congruente con aaj módulo n. Eso quiere decir que existe un k entero tal que (aai - aaj) = kn luego
a(ai-aj) = kn
Sea bi el resto positivo de ai entre n, bj lo mismo con aj
ai = bi + mn
aj = bj + ln
a(ai - aj) = a(bi + mn - bj - ln) = a(bi - bj) + an(m-l)
luego
a(bi - bj) + an(m-l) = kn
a(bi - bj) = n(k-an(m-l)) = nk2
Es decir, que n divide a a(bi-bj). Como el mcd(a, b) = 1 significa que n tiene ningún factor primo en a y divide por completo a (bi-bj). Pero habíamos elegido esos bi de forma que valiesen entre 0 y n-1 de modo que (bi-bj) puede variar entre -(n-1) y (n-1) el único valor divisible por n dentro de ese rango es el cero luego:
bi - bj =0 ==>
bi = bj ==> deshaciendo los cambios tenemos
ai = bi + mn
aj = bj + ln
Luego ai conguente con aj módulo n
Pero como a1,..., an era un sistema completo de restos significa ai = aj
y finalmente eso significa que aai = aaj.
Luego hemos demostrado que si aai es congruente mod n con aaj son iguales y por tanto cada uno dará un resto distinto hasta completarlos n necesariso para que sea un sistema de residuos completo.
Mira que la idea es bien intuitiva pero lo pesado que es demostrarla.
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2) Para evitar escribir tanto usaré esta notación:
a=b (mod n1)
Con el significado a a es congruente con b modulo n1
Eso significa que existe k1 entero tal que (a-b) = n1·k1
De a=b (mod n2) obtenemos que existe k2 entero tal que (a-b) = n2·k2
Luego n1·k1 = n2·k2 = m
M es múltiplo de n1 y es también múltiplo de n2, luego m es múltiplo del mínimo común múltiplo de ambos que es n, es decir:
m = n · q
Los pasos a seguir son
a-b = n1·k1= m = n · q
Luego a es congruente con b modulo mcm(n1, n2)
Y lo último es un corolario, si n1 y n2 son primos relativos (o entre sí, que también se dice) su mcm es el producto de los dos y la congruencia se produce con dicho producto.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. Si no quieres aclaraciones no olvides puntuar para cerrar la pregunta.