Ejercicio calculo 3 (integrales)

Dianis 1556!
De nuevo el problema viene por tener una función valor absoluto, eso nos hará tener que dividir en dos el dominio de integración y hacer dos integrales distintas:
y - 1 + x^2 >= 0 ==> y >= 1 - x^2
y - 1 + x^2 <= 0 ==> y <= 1 - x^2
La función y = 1 - x^2 es una parábola invertida con vértice en (0,1). Está en el dominio y bien centrada. En su parte exterior se cumple y > 1 - x^2 y en la interior lo contrario.
En la parte exterior de la parábola la función será:
|y - 1 + x^2 | = y - 1 + x^2
Y los dominios x € [-1,1]; y € [1-x^2, 1]
En la parte interior de la parábola la función será:
|y - 1 + x^2| = -y + 1 - x^2
Y los dominios x €[-1,1]; y € [0, 1-x^2]
Y la integral qued:
$${y-1+x^2 dy con y € [1-x^2, 1]}dx con x € [-1,1] +
+ $${-y+1-x^2 dy con y € [0, 1-x^2]}dx con x € [-1,1] =
= $(y^2)/2+y(-1+x^2) con y € [1-x^2, 1]}dx con x € [-1,1] +
+ $(-(y^2)/2+y(1-x^2) con y € [0, 1-x^2]}dx con x € [-1,1] =
= ${1/2-1+x^2 - [(1-x^2)^2] / 2 + (1-x^2)^2}dx con x € [-1,1] +
+ ${-[(1-x^2)^2]/2 + [(1-x^2)^2]}dx con x € [-1,1] =
Ahora podemos volver a juntar las integrales por tener igual dominio en x
= ${-1/2 + x^2 + [(1-x^2)^2] / 2 + [(1-x^2)^2] / 2}dx con x € [-1,1] =
${-1/2 + x^2 + [(1-x^2)^2]}dx con x € [-1,1] =
${-1/2 + x^2 +1 + x^4 - 2x^2}dx con x € [-1,1] =
$(1/2 - x/2 + x^4)dx con x € [-1,1] =
x/2 - (x^2)/4 + (x^5)/5 con x € [-1,1] =
1/2 - 1/4 + 1/5 + 1/2 + 1/4 + 1/5 = 1 + 2/ 5 = 7/5
Y como siempre digo en esto problemas de cuentecillas: Puede que esté bien, pero si no lo está, lo importante es el razonamiento y saber hacerlo. Espero que lo hallas entendido pese a lo enrevesado de la notación. NO olvides puntuar.