Ejercicios de integración 2
1) En cada caso calcular el volumen de la región acotada por:
c) Los planos x=0, x=2, y=0, y=x+1 y z=x
d) Los cilindros y=x^2; y=z^2 y el plano y=1
c) Los planos x=0, x=2, y=0, y=x+1 y z=x
d) Los cilindros y=x^2; y=z^2 y el plano y=1
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
c) Los planos x=0, x=2, y=0, y=x+1 y z=x
Los cuatro primeros planos no contienen la z, luego son paralelos al eje Z, se levantan hacía arriba y hacen como las paredes de una casa. El cuarto plano si contiene la letra z y será inclinado, hará de tejado. No se menciona pero en muchos de estos problemas falta explicitar que el suelo es el plano z=0, en este caso es necesario el concurso de ese plano.
El problema es por tanto bastante sencillo. La función a integrar es z = f(x,y) = x
El dominio en por es [0,2] y en y es [0, x+1] puesto que x+1 valdrá entre 1 y 3 cifras mayores que 0.
V = $${x dy con y € [0, x+1]}dx con x € [0,2] =
${xy con y € [0, x+1]}dx con x € [0,2] =
$ {x^2 + x}dx con x € [0,2] =
(x^3)/3 + (x^2)/2 con x € [0,2] =
8/3 + 4/2 = (16+12)/6 = 28/6 = 14/3 = 4,666...
----------------
d) Este problema no se ve tan claro como el anterior, mejor veamos una gráfica.
Tengo que conseguir un programa gratuito que dibuje funciones implícitas en 3D, muchos dibujan las explicitas pero no pueden con las implícitas que surgen cuando falta la z. Este que tengo solo durará un mes.
Ya vemos que el área comprendida por los dos cilindros y el plano está en el centro de la cruz. El cilindro y = x^2 y el plano Y = 1 nos sirven para delimitar perfectamente el dominio sobre el que integraremos que es
D = [-1, 1] x [x^2, 1]
El cilindro y = z^2 nos dará el techo si tomamos
z = sqrt(y)
y el suelo tomando
z = -sqrt(y)
Nótese que el gráfico puede engañar porque el plano z = 0 no está abajo sino en el centro de la cruz. Con lo que basta integrar z = sqrt(y) y el área será el doble de eso por simetría con z = -sqrt(y) que está por debajo del plano z=0.
En resumen:
V = 2$${sqrt(y) dy con y € [x^2, 1]}dx con x € [-1,1] =
considerese que sqrt(y) = y^(1/2) para obtener la integral directa
2${(2/3)y^(3/2) con y € [x^2, 1]}dx con x € [-1,1] =
(4/3)$(1 - x^3)dx con x € [-1,1] =
(4/3) (x - (x^4)/4) con x € [-1,1] =
(4/3) (1 - 1/4 +1 + 1/4) = (4/3)2 = 8/3 = 2,666...
Y eso es todo, así da gusto, no como uno que hice esta madrugada que era super enrevesado. Espero que lo hallas entendido y si no dime que dudas tienes. NO olvides puntuar.
Los cuatro primeros planos no contienen la z, luego son paralelos al eje Z, se levantan hacía arriba y hacen como las paredes de una casa. El cuarto plano si contiene la letra z y será inclinado, hará de tejado. No se menciona pero en muchos de estos problemas falta explicitar que el suelo es el plano z=0, en este caso es necesario el concurso de ese plano.
El problema es por tanto bastante sencillo. La función a integrar es z = f(x,y) = x
El dominio en por es [0,2] y en y es [0, x+1] puesto que x+1 valdrá entre 1 y 3 cifras mayores que 0.
V = $${x dy con y € [0, x+1]}dx con x € [0,2] =
${xy con y € [0, x+1]}dx con x € [0,2] =
$ {x^2 + x}dx con x € [0,2] =
(x^3)/3 + (x^2)/2 con x € [0,2] =
8/3 + 4/2 = (16+12)/6 = 28/6 = 14/3 = 4,666...
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d) Este problema no se ve tan claro como el anterior, mejor veamos una gráfica.
Tengo que conseguir un programa gratuito que dibuje funciones implícitas en 3D, muchos dibujan las explicitas pero no pueden con las implícitas que surgen cuando falta la z. Este que tengo solo durará un mes.
Ya vemos que el área comprendida por los dos cilindros y el plano está en el centro de la cruz. El cilindro y = x^2 y el plano Y = 1 nos sirven para delimitar perfectamente el dominio sobre el que integraremos que es
D = [-1, 1] x [x^2, 1]
El cilindro y = z^2 nos dará el techo si tomamos
z = sqrt(y)
y el suelo tomando
z = -sqrt(y)
Nótese que el gráfico puede engañar porque el plano z = 0 no está abajo sino en el centro de la cruz. Con lo que basta integrar z = sqrt(y) y el área será el doble de eso por simetría con z = -sqrt(y) que está por debajo del plano z=0.
En resumen:
V = 2$${sqrt(y) dy con y € [x^2, 1]}dx con x € [-1,1] =
considerese que sqrt(y) = y^(1/2) para obtener la integral directa
2${(2/3)y^(3/2) con y € [x^2, 1]}dx con x € [-1,1] =
(4/3)$(1 - x^3)dx con x € [-1,1] =
(4/3) (x - (x^4)/4) con x € [-1,1] =
(4/3) (1 - 1/4 +1 + 1/4) = (4/3)2 = 8/3 = 2,666...
Y eso es todo, así da gusto, no como uno que hice esta madrugada que era super enrevesado. Espero que lo hallas entendido y si no dime que dudas tienes. NO olvides puntuar.
La respuesta ha sido verificada con Máxima y esta bien.
