Calculo de integrales dobles, cambio de variable y Fubbini
No estoy segura de estar haciendo bien este problema:
Calcular I(p,r) = integral sobre D, de 1/[(p^2+x^2+y^2)]^p d(x,y)
Donde D = {(x,y); x^2 + y^2 <=1} y p > 0
a) Calcular I(p,r)
b) Demostrar que límite cuando r tiende a infinito de I(p, r) existe si y solo si p > 1
Para a) Cambio a coordenadas polares, x = rcos(g), y = rsen(g); y el determinante de la matriz jacobiana de T(r,g) = (rcos(g), rsen(g)) es igual a r.
D es el circulo de radio r, y lo tansformamos en el rectángulo [0,1] X [0, 2pi] = D'
Entonces la integral sobre D se transforma en la integral sobre D' de r/[(p^2 + r^2)^p] d(r,g).
Usando teorema de Fubbini, integro primero de cero a 1, respecto de r:
integral de 0 a 1 de: r/[(p^2 + r^2)^p] dr = [ p/ (2(p-1)) ] [(p^2 + r^2)^(1-(1/p))]
= [ p/ (2(p-1)) ] [ p/ (2(p-1)) ] [(p^2 + 1)^((p-1)/p)]
Y la expresión anterior la integramos de 0 a 2pi, respecto al ángulo g; esta última integral queda igual a [(pi X p)/(p-1)] [(p^2 + 1^2)^((p-1)/p)] = I(r,p)
Luego, el inciso b es el que me desconcierta más, pues la integral anterior no depende de r y, entonces, el límite de I(r, p) cuando r tiende a infinito, sería el límite de una constante que es igual a la misma constante; sólo que para que la expresión tenga sentido, el denominador: p-1 debe ser distinto que cero. Como por hipótesis p > 0, entonces p debe ser mayor que 1. ¿?
1 respuesta
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Ninel!
·
Déjame que escriba lo que has hecho porque no me entero de mucho
$$\begin{align}&I(p,r) = \int_D \frac{dA}{(p^2+x^2+y^2)^p}=\\&\\&x=r·\cos \varphi\\&y=r·sen\varphi\\&Jacobiano=r\\&\\&=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \frac{r}{(p^2+r^2)^p}dr d\varphi=\\&\\&\int_0^{2\pi}\frac 12 \left.\frac{(p^2+r^2)^{-p+1}}{-p+1}\right|_0^1 d\varphi=\\&\\&\frac 12\int_0^{2\pi}\left(\frac{(p^2+1)^{1-p}-(p^2)^{1-p}}{1-p}\right)d\varphi=\\&\\&\pi\left(\frac{(p^2+1)^{1-p}-(p^2)^{1-p}}{1-p}\right)\\&\\&\\&b)\\&\\&\lim_{r\to \infty}I(p,r)=\end{align}$$Es que en la definición de I(p,r) no aparece r. ¿No crees que r debería ser el radio del circulo sobre el que se integra?
Entonces sería:
$$\begin{align}&b)\\&\\&\lim_{r\to \infty}I(p,r)=\lim_{r\to\infty}\pi\left(\frac{(p^2+r^2)^{1-p}-(p^2)^{1-p}}{1-p}\right)=\\&\\&\text{El limite tiene algunas constantes sumando y multiplicando}\\&\text{pero lo único que puede hacerlo infinito es esto}\\&\\&\lim_{r \to \infty}(p^2+r^2)^{1-p}\\&\\&Si \;1-p >0 \to\infty\\&Si \; 1-p \lt0 \to 0\\&Si \; 1-p =0 \text{ no estaría definida I(p,r)}\\&\\&\text{luego para que exista el límite debe ser}\\&1-p \lt 0\\&p\gt 1\end{align}$$Y eso es todo.
Profesor
Sí, tiene razón, el radio del circulo es r.
Y también no había yo evaluado la primera integral en r = 0.
Muchas gracias
Saludos, profesor
Me doy cuenta de que al hacer el cambio de variable, debo tomar una variable s distinta de r, e integrar primero de cero a r, respecto de s. Al hacerlo así, sí me queda la integral doble igual a la expresión que usted pone en el inciso (b), de la cual se calcula el límite.
Y otro detalle me di cuenta es que al integrar, hay que considerar aparte cuando p = 1, pues en ese caso la integral doble será (pi)log(p^2 + r^2)
¿Cierto?
Gracias, profesor
Si claro. Lo que pasa es que como al principio no sabíamos que r formaba parte de la expresión de la función a integrar usé la variable r que es la típica para designar el radiovector de las coordenadas polares. Apareciendo una constante r en la expresión no se puede usar un nombre de variable igual.
·
Aquí no se me ocurrió a mí considerar aparte el caso p=1, es cierto lo que dices.
La integral quedará:
Pi·log(1+r^2)
Con lo cual si r tiende a infinito no existirá el límite.
Por lo tanto la respuesta sigue siendo p>1
·
Eres muy buen estudiante.
