Teorema de wilson parte dos
2) a) Para un primo p de la forma 4k + 3, probar que
(p - 1)/2) (congruente con) 1(mod p) o (p - 1)/2) (congruente con) -1(modp);
Por lo tanto, [(p - 1)/2]! Satisface la congruencia cuadrática x^2 (congruente con) 1(modp).
b) Use la parte (a) para probar que si p = 4k + 3 es primo, entonces el producto de todos
los enteros pares menores que p es congruente modulo p a 1 o -1.
[Ayuda: El teorema de Fermat implica que 2^((p-1)/2) (congruente con) (+ y -)1(modp)].
(p - 1)/2) (congruente con) 1(mod p) o (p - 1)/2) (congruente con) -1(modp);
Por lo tanto, [(p - 1)/2]! Satisface la congruencia cuadrática x^2 (congruente con) 1(modp).
b) Use la parte (a) para probar que si p = 4k + 3 es primo, entonces el producto de todos
los enteros pares menores que p es congruente modulo p a 1 o -1.
[Ayuda: El teorema de Fermat implica que 2^((p-1)/2) (congruente con) (+ y -)1(modp)].
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Está mal transcrito el problema. ¡Menos mal que tengo el libro!
Para un primo p de la forma 4k + 3, probar que
(p - 1)/2) (congruente con) 1(mod p) o (p - 1)/2) (congruente con) -1(modp);
Falta poner el factorial
Para un primo p de la forma 4k + 3, probar que
(p - 1)/2)! (congruente con) 1(mod p) o (p - 1)/2)! (congruente con) -1(modp);
a)
Como antes vamos a formar estas parejas
1 con 4k + 2
2 con 4k + 1
3 con 4k
4 con 4k -1 y asi sucesivamente hasta
2k+1 con 2k+2
si llamamos (ai, bi) a una de estas parejas se verifica
ai := -bi (mod p)
puesto que -bi -ai = - (4k + 3 - i) - i = -(4k + 3) = -p que es múltiplo de p
Y como hicimos en el ejercicio que estaba antes de este vamos a multiplicar las congruencias, a la izquierda las parejas de la izquierda y a la derecha las de la derecha
1 := (-1) (4k+2) (mod p)
1·2 := (-1)^2 (4k+2)(4k+1) (mod p)
1·2·3:= (-1)^3 (4k+2)(4k+1)(4k) (mod p)
....
1·2·3···(2k+1) := (-1)^(2k+1) · (4k+2)(4k+1)···(2k+2) (mod p)
Como 2k-1 es impar (-1)^(2k+1) = -1
1·2·3···(2k+1) := - (4k+2)(4k+1)···(2k+2) (mod p)
Y ahora multiplicamos por 1·2···(2k+1) en ambos lados
[1·2·3···(2k+1)]^2 := - 1·2·3···(2k+1) (4k+2)(4k+1)...(2k+2) (mod p)
Reordenando factores y poniendo factoriales tenemos:
[(2k+1)!]^2 := - (4k+2)! (mod p)
Y por el teorema de Wilson tenemos (p-1)! := -1 (mod p). Como 4k+2 = p - 1 tenemos
[(2k+1)!]^2 := -(-1) (mod p)
[(2k+1)!]^2 := 1 (mod p)
Como 2k+1 = (p-1)/2 tenemos
[(p-1)/2]!^2 := 1 (mod p)
Llamemos x = [(p-1)/2]!
[(p-1)/2]! verifica la ecuación cudrática de congruencias
x^2 := 1 (mod p)
O sea
x^2 = 1 + kp
x^2 - 1 = kp
(x+1)(x-1) = kp
Por ser p primo, o bien (x+1) o bien (x-1) deben contener el factor primo p
luego ó (x-1) = jp ó (x+1) = ip que escrito en congruencias es
(x-1) := 0 (mod p) ó (x+1) := 0 (mod p)
x := 1 (mod p) ó x := -1 (mod p)
[(p-1)/2]! := 1 (mod p) ó [(p-1)/2]! := -1 (mod p)
Que verificaba x^2 := 1 (mod p) fue lo primero que se demostró.
-------------------------------------
b) En el ejercicio a habíamos llegado a
Tenemos [(p-1)/2]! = 1·2·3···(p-1)/2
Si multiplicamos por [2^(p-1)/2] y cada factor 2 de esta potencia lo asociamos con cada factor del factorial tendremos el producto de los pares menores que p que nos piden:
[(p-1)/2]! · [2^((p-1)/2)] = 2 · 4 · 6 ··· (p-1) Luego
[(p-1)/2]! · [2^((p-1)/2)] : = 2 · 4 · 6 ··· (p-1) (mod p)
Como [(p-1)/2]! := (+-) 1 (mod p)
(+-) 2^((p-1)/2) := 2 · 4 · 6 ··· (p-1) (mod p)
Dejamos esto aparcadao y vamos a demostrar que la ayuda que nos sugieren es verdadera.
p = 4k+3 ==> p-1 = 4k+2 ==> (p-1)/2 es un número entero que vale 2k+1
Y como p es impar no divide a 2, luego podemos usar el teorema de Fermat de esta forma
2^(p-1) := 1 (mod p)
Separamos en dos factores iguales el primer miemnbro
[2^((p-1)/2)]·[2^((p-1)/2)] := 1 (mod p)
De nuevo tenemos una congruencia cuadrática
x^2 := 1 (mod p)
Ya habíamos demostrado arriba que esto significaba:
x := (+-)1 (mod p)
2^((p-1)/2) := (+-)1 (mod p)
Y ahora volvemos a donde habíamos dejado el problema y sustitiimos este valor.
(+-) 2^((p-1)/2) := 2 · 4 · 6 ··· (p-1) (mod p)
(+-) (+-)1 := 2 · 4 · 6 ··· (p-1) (mod p)
No tiene porque ser + con + y - con -, puede ser + con - y viceversa.
2 · 4 · 6 ··· (p-1) := (+-)1 (mod p)
Y eso era lo que nos pedían.
Uff! Pues ya está hecho, espero que lo entiendas. No olvides puntuar.
Un saludo.
Para un primo p de la forma 4k + 3, probar que
(p - 1)/2) (congruente con) 1(mod p) o (p - 1)/2) (congruente con) -1(modp);
Falta poner el factorial
Para un primo p de la forma 4k + 3, probar que
(p - 1)/2)! (congruente con) 1(mod p) o (p - 1)/2)! (congruente con) -1(modp);
a)
Como antes vamos a formar estas parejas
1 con 4k + 2
2 con 4k + 1
3 con 4k
4 con 4k -1 y asi sucesivamente hasta
2k+1 con 2k+2
si llamamos (ai, bi) a una de estas parejas se verifica
ai := -bi (mod p)
puesto que -bi -ai = - (4k + 3 - i) - i = -(4k + 3) = -p que es múltiplo de p
Y como hicimos en el ejercicio que estaba antes de este vamos a multiplicar las congruencias, a la izquierda las parejas de la izquierda y a la derecha las de la derecha
1 := (-1) (4k+2) (mod p)
1·2 := (-1)^2 (4k+2)(4k+1) (mod p)
1·2·3:= (-1)^3 (4k+2)(4k+1)(4k) (mod p)
....
1·2·3···(2k+1) := (-1)^(2k+1) · (4k+2)(4k+1)···(2k+2) (mod p)
Como 2k-1 es impar (-1)^(2k+1) = -1
1·2·3···(2k+1) := - (4k+2)(4k+1)···(2k+2) (mod p)
Y ahora multiplicamos por 1·2···(2k+1) en ambos lados
[1·2·3···(2k+1)]^2 := - 1·2·3···(2k+1) (4k+2)(4k+1)...(2k+2) (mod p)
Reordenando factores y poniendo factoriales tenemos:
[(2k+1)!]^2 := - (4k+2)! (mod p)
Y por el teorema de Wilson tenemos (p-1)! := -1 (mod p). Como 4k+2 = p - 1 tenemos
[(2k+1)!]^2 := -(-1) (mod p)
[(2k+1)!]^2 := 1 (mod p)
Como 2k+1 = (p-1)/2 tenemos
[(p-1)/2]!^2 := 1 (mod p)
Llamemos x = [(p-1)/2]!
[(p-1)/2]! verifica la ecuación cudrática de congruencias
x^2 := 1 (mod p)
O sea
x^2 = 1 + kp
x^2 - 1 = kp
(x+1)(x-1) = kp
Por ser p primo, o bien (x+1) o bien (x-1) deben contener el factor primo p
luego ó (x-1) = jp ó (x+1) = ip que escrito en congruencias es
(x-1) := 0 (mod p) ó (x+1) := 0 (mod p)
x := 1 (mod p) ó x := -1 (mod p)
[(p-1)/2]! := 1 (mod p) ó [(p-1)/2]! := -1 (mod p)
Que verificaba x^2 := 1 (mod p) fue lo primero que se demostró.
-------------------------------------
b) En el ejercicio a habíamos llegado a
Tenemos [(p-1)/2]! = 1·2·3···(p-1)/2
Si multiplicamos por [2^(p-1)/2] y cada factor 2 de esta potencia lo asociamos con cada factor del factorial tendremos el producto de los pares menores que p que nos piden:
[(p-1)/2]! · [2^((p-1)/2)] = 2 · 4 · 6 ··· (p-1) Luego
[(p-1)/2]! · [2^((p-1)/2)] : = 2 · 4 · 6 ··· (p-1) (mod p)
Como [(p-1)/2]! := (+-) 1 (mod p)
(+-) 2^((p-1)/2) := 2 · 4 · 6 ··· (p-1) (mod p)
Dejamos esto aparcadao y vamos a demostrar que la ayuda que nos sugieren es verdadera.
p = 4k+3 ==> p-1 = 4k+2 ==> (p-1)/2 es un número entero que vale 2k+1
Y como p es impar no divide a 2, luego podemos usar el teorema de Fermat de esta forma
2^(p-1) := 1 (mod p)
Separamos en dos factores iguales el primer miemnbro
[2^((p-1)/2)]·[2^((p-1)/2)] := 1 (mod p)
De nuevo tenemos una congruencia cuadrática
x^2 := 1 (mod p)
Ya habíamos demostrado arriba que esto significaba:
x := (+-)1 (mod p)
2^((p-1)/2) := (+-)1 (mod p)
Y ahora volvemos a donde habíamos dejado el problema y sustitiimos este valor.
(+-) 2^((p-1)/2) := 2 · 4 · 6 ··· (p-1) (mod p)
(+-) (+-)1 := 2 · 4 · 6 ··· (p-1) (mod p)
No tiene porque ser + con + y - con -, puede ser + con - y viceversa.
2 · 4 · 6 ··· (p-1) := (+-)1 (mod p)
Y eso era lo que nos pedían.
Uff! Pues ya está hecho, espero que lo entiendas. No olvides puntuar.
Un saludo.
