Teorema de wilson 2
Teorema (5.9) : La congruencia cuadrática x^2 + 1 (conguente con) 0(mod p), con p un primo impar, tiene solución si y sólo si p (conguente con) 1(mod4).
Entonces las preguntas son las siguientes:
3)Aplique el teorema (5,9) para encontrar dos soluciones de las congruencias cuadráticas x^2 (conguente con) -1(mod29) y x^2 (conguente con) -1(mod37).
4) Pruebe que si p = 4k +3 es primo y a^2 + b^2 (conguente con) 0(modp), entonces a (conguente con) b (conguente con) 0(modp).
[Ayuda: Si a (no es conguente con) 0(modp) entonces existe un entero c tal que ac (conguente con) 1(modp) use este hecho para contradecir el teorema (5,9)].
5) Pruebe que los divisores primos impares del entero n^(2) + 1 son de la forma 4k + 1
[Ayuda: Usar el teorema (5,9)].
Entonces las preguntas son las siguientes:
3)Aplique el teorema (5,9) para encontrar dos soluciones de las congruencias cuadráticas x^2 (conguente con) -1(mod29) y x^2 (conguente con) -1(mod37).
4) Pruebe que si p = 4k +3 es primo y a^2 + b^2 (conguente con) 0(modp), entonces a (conguente con) b (conguente con) 0(modp).
[Ayuda: Si a (no es conguente con) 0(modp) entonces existe un entero c tal que ac (conguente con) 1(modp) use este hecho para contradecir el teorema (5,9)].
5) Pruebe que los divisores primos impares del entero n^(2) + 1 son de la forma 4k + 1
[Ayuda: Usar el teorema (5,9)].
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Antes de empezar, corrijo una errata del ejercicio anterior.
Ponía
"Como 2k-1 es impar (-1)^(2k+1) = -1"
y debe poner
"Como 2k+1 es impar (-1)^(2k+1) = -1"
Y ahora vamos ya con este ejercicio:
El teorema 5.9 del que hablas me parece que es realidad el 5.3, ese es su enunciado y el 5.9 no aparece en el libro.
3) Pues al final del teorema dice como conclusión que [(p-1)/2]! Satisface el teorema.
Lo aplicamos a los números concretos que me das:
x^2 + 1 := 0 (mod 29)
Efectivamente 29 = 4·7 + 1 luego puede aplicarse y las solución es
x = [(29-1)/2]! = 14!
Y el otro caso:
x^2 + 1 := 0 (mod 37) Tambíen verifica el teorema por ser 37 = 4·9 +1
x = [(37-1)/2]! = 18!
------------------
4) Si p = 4k+3 es primo y a^2+b^2 := 0 (mod p) entonces a := b := 0 (mod p)
Ayuda: Si a :/= 0 (mod p) entonces existe c tal que ac := 1 (mod p)
Me parece bien el :/= para no congruente. Sin embargo no me gusta el /= para distinto, en informática se usa de toda la vida el <> para distinto.
Demostremos primero la ayuda:
Sea a <> 0 y cumpliendo a := b (mod p) con b <>0
Tomemos los números a, 2a, 3a, ... (p-1)a. Son todos distintos entre si en (mod p) porque si i <> j entonces
a·i :=a·j (mod p) ==> a·i - a·j = kp ==> a(i-j) = kp ==> a =kp/(i-j)
Como p es primo (i-j) divide a k, quedará a =np por lo que a := 0 (mod p) contradiciendo la hipótesis, luego i=j
Además a·i :/= 0 (mod p) porque tendríamos
a·i = p·j ==> a = p(j/i) ==> a := 0 (mod p)
Que contradice nuestra hipótesis que era a := b (mod p) con b <>0
Entonces los a·i con 0 < i <= p-1 son todos distintos (mod p) entre sí y hay p-1 que son los posibles valores entre 1 y p-1, luego habrá un a·i congruente con 1 (mod p)
Llamemos c a ese i y tendremos que existe ese c tal que
a·c := 1 (mod p)
Pues nos ponemos ya con el ejercicio:
a^2 + b^2 := 0 (mod p)
Supongamos a no congruente con 0 (mod p). Lo que digamos para a sirve para b.
a :/= 0 (mod p) ==>
a <> kp para todo k € Z==>
a^2 <> jp para todo j € Z
Ya que si a^2=jp tendríamos a =jp/a y esto es contradictorio porque en cualquiera de los casos que pueden darse:
a) Si a | p ==> a = 1 ó p
a1) Si a = 1 ==> 1 = jp absurdo total
a2) Si a = p ==> a := 0 (mod p) contradiciendo la hipótesis
b) Si a | j ==> a = np ==> a := 0 (mod p) contradiciendo la hipótesis
Y decir a^2 <> jp para todo j € Z es lo mismo que decir
a^2 :/= 0 (mod p)
Resumiendo.
a :/= 0 (mod p) ==> a^2 :/= 0 (mod p)
Aquí lo dejo de momento. Parece complicado este segundo ejercicio y no sé si vale de algo todo lo que he hecho, no llego a pillarle el truco.
Te lo mando porque como voy a apagar el ordenador lo mando ya en vez de guardarlo y pegarlo después.
Ponía
"Como 2k-1 es impar (-1)^(2k+1) = -1"
y debe poner
"Como 2k+1 es impar (-1)^(2k+1) = -1"
Y ahora vamos ya con este ejercicio:
El teorema 5.9 del que hablas me parece que es realidad el 5.3, ese es su enunciado y el 5.9 no aparece en el libro.
3) Pues al final del teorema dice como conclusión que [(p-1)/2]! Satisface el teorema.
Lo aplicamos a los números concretos que me das:
x^2 + 1 := 0 (mod 29)
Efectivamente 29 = 4·7 + 1 luego puede aplicarse y las solución es
x = [(29-1)/2]! = 14!
Y el otro caso:
x^2 + 1 := 0 (mod 37) Tambíen verifica el teorema por ser 37 = 4·9 +1
x = [(37-1)/2]! = 18!
------------------
4) Si p = 4k+3 es primo y a^2+b^2 := 0 (mod p) entonces a := b := 0 (mod p)
Ayuda: Si a :/= 0 (mod p) entonces existe c tal que ac := 1 (mod p)
Me parece bien el :/= para no congruente. Sin embargo no me gusta el /= para distinto, en informática se usa de toda la vida el <> para distinto.
Demostremos primero la ayuda:
Sea a <> 0 y cumpliendo a := b (mod p) con b <>0
Tomemos los números a, 2a, 3a, ... (p-1)a. Son todos distintos entre si en (mod p) porque si i <> j entonces
a·i :=a·j (mod p) ==> a·i - a·j = kp ==> a(i-j) = kp ==> a =kp/(i-j)
Como p es primo (i-j) divide a k, quedará a =np por lo que a := 0 (mod p) contradiciendo la hipótesis, luego i=j
Además a·i :/= 0 (mod p) porque tendríamos
a·i = p·j ==> a = p(j/i) ==> a := 0 (mod p)
Que contradice nuestra hipótesis que era a := b (mod p) con b <>0
Entonces los a·i con 0 < i <= p-1 son todos distintos (mod p) entre sí y hay p-1 que son los posibles valores entre 1 y p-1, luego habrá un a·i congruente con 1 (mod p)
Llamemos c a ese i y tendremos que existe ese c tal que
a·c := 1 (mod p)
Pues nos ponemos ya con el ejercicio:
a^2 + b^2 := 0 (mod p)
Supongamos a no congruente con 0 (mod p). Lo que digamos para a sirve para b.
a :/= 0 (mod p) ==>
a <> kp para todo k € Z==>
a^2 <> jp para todo j € Z
Ya que si a^2=jp tendríamos a =jp/a y esto es contradictorio porque en cualquiera de los casos que pueden darse:
a) Si a | p ==> a = 1 ó p
a1) Si a = 1 ==> 1 = jp absurdo total
a2) Si a = p ==> a := 0 (mod p) contradiciendo la hipótesis
b) Si a | j ==> a = np ==> a := 0 (mod p) contradiciendo la hipótesis
Y decir a^2 <> jp para todo j € Z es lo mismo que decir
a^2 :/= 0 (mod p)
Resumiendo.
a :/= 0 (mod p) ==> a^2 :/= 0 (mod p)
Aquí lo dejo de momento. Parece complicado este segundo ejercicio y no sé si vale de algo todo lo que he hecho, no llego a pillarle el truco.
Te lo mando porque como voy a apagar el ordenador lo mando ya en vez de guardarlo y pegarlo después.
