Hola mike

Ya te expuse dos ejemplos de cada teorema en el mensaje
http://www.todoexpertos.com/mitodoexpertos/leermsg.asp?f=1&idproceso=300757
Y vimos dos comprobaciones que cumplen ambos teoremas
También te di la página
http://www.tecnun.es/Asignaturas/funmat_3/pagina_3.html
En el tema 4 vienen las demostraciones de los teoremas así como ejercicios
De igual forma ya hice también la demostración en el mensaje:
http://www.todoexpertos.com/mitodoexpertos/leermsg.asp?f=1&idproceso=299278
De todas formas vamos a ver si puedo ayudarte en algo.
Creo que tu problema es la integración de variable compleja.
A la fora de integrar una integral en variable real, nos aprendemos unas integrales inmediatas, como por ejemplo
Int[x^n*dx]=x^(n+1)/(n+1)
excepto para n=-1
Cuando hacemos una integral definida, hacemos la integral y luego sustituimos por el límite superior menos por la sustitución del límite inferior
O sea, si queremos integrar Int[x*dx] entre x=0 y x=1
Int[x*dx]=
x^2/2 entre 0 y 1, con lo que
Int=(1^2/2 - 0^2/2)=1/2
Ahora bien, cuando la integral es compleja el asunto cambia radicalmente.
El problema es que la variable compleja es
z=x+i*y
y diferenciando
dz=dx+i*dy
con lo que ahora tenemos dos variables de integración y el problema cambia totalmente.
Vamos a ver: en variable real al integrar entre x=0 a x=1, sólo podemos ir de un punto de la recta al otro en línea recta, con lo cual hay un sólo camino.
Pero en variable compleja, para movernos entre por ejemplo el punto (x, y)=(0,0) hasta el punto (1,1), podemos hacerlo de varias formas, pues ahora estamos en el plano.
Es decir, la integral
Int[z*dz]
Entre (0,0) y (1,1), aunque sea parecida a la anterior, no tiene nada que ver, pues hemos de indicar el camino seguido.
Veamos que dados dos caminos diferentes la integral se resuelve de forma diferente ( aunque en este caso nos va a dar lo mismo).
Además si damos el camino estamos dando una relación entre x e y, por lo que llevamos la integral a una sola variable real, y podemos aplicar las fórmulas de la integración real.
1º Camino (0,0)-->(1,1) de forma recta
En este caso estamos yendo por la recta y=x, que pasa por esos dos puntos
en tal caso, diferenciando
dy=dx
con lo que
z=x+i*y-->z=x+i*x=(1+i)*x
dz=dx+i*dy=dx+i*dx=(1+i)*dx
y la integral queda en una sola variable real
Int[z*dz]=Int[(1+i)*x*(1+i)*dx]=
(1+i)^2*Int[x*dx]
(1+2*i-i^2)*[x^2/2]
(1+2*i-1)*(1/2-0/2)
2*i*1/2
Int=i
2ºCamino (0,0)-->(1,1) por la parábola
y=x^2, que pasa por los dos puntos
diferenciando
dy=2*x*dx
luego
dz=x+i*dy=x+i*2*x*dx
Y nos quedará
Int[z*dz]=Int[(x+i*y)*(dx+i*dy)]=
Int[(x+i*x^2)*(dx+i*2*x*dx)]=
Int[x*dx+i*2*x^2*dx+i*x^2*dx-2*x^3*dx]=
Int[(x-2*x^3)*dx]+i*Int[3*x^2*dx]
Estas son integrales de variable real y las integramos según las fórmulas de integrales inmediatas
x^2/2-2*x^4/4+i*3*x^3/3=
x^2/2-x^4/2+i*x^3
Sustituyendo ahora los límites en x:0-->
(1/2-0/2)-(1/2-0/2)+i*(1-0)
Int=i
Como ves el desarrollo de la integral es completamente diferente (aunque de lo mismo), pues depende del camino.
Sin embargo el valor nos queda igual, ¿por qué?
Pues esto es lo que dice el teorema de Cauchy-Goursat, que si integramos una función analítica, el valor es independiente del camino seguido.
La función z es analítica en todo C, y por eso para integrar desde el punto (0,0) al punto (1,1), podemos hacerlo por cualquier camino
O sea, si integramos
Int[z*dz]
Desde (0,0)-->(1,1) por el camino y=x^3, que pasa por ambos puntos, el valor nos va a dar nuevamente i
Ahora bien, si integramos
Int[dz/z]
Ya no es lo mismo, pues f(z)=1/z no es analítica en (0,0), y no le podemos aplicar el teorema.
Resuminedo, practica un poco con integhraciones sencillas en variable compleja y luego trata de entender los ejemplos que te puse en el mensaje anterior.
Cualquier duda no dudes en volver a preguntar.