Inducción matemática: Ejemplo (Para la siguiente pregunta)
HolaValero! Es sólo un ejemplo
Demostrar que 3 divide a
$$10^{k+1}+10^k+1$$n=1
$$\begin{align}&=\frac{10^{(1)+1}+10^{(1)}+1}{3}\\ &=\frac{10^2+10+1}{3}\\ &=\frac{111}{3}\\ &=37\end{align}$$n=k
$$\frac{10^{k+1}+10^k+1}{3}$$k=k+1
$$\begin{align}&=\frac{10^{(k+1)+1}+10^{k+1}+1}{3}\\ &=\frac{10^{k+2}+10^{k+1}+1}{3}\\ &=\frac{10^{k+2}}{3}+\frac{10^{k+1}}{3}+\frac{1}{3}.\frac{10}{10}\\ &=10(\frac{10^{k+1}}{3}+\frac{10^k}{3}+\frac{1}{30})\\ &=10(\frac{10^{k+1}}{3}+\frac{10^k}{3}+\frac{1}{30}+\frac{9}{30}-\frac{9}{30})\\ &=10(\frac{10^{k+1}}{3}+\frac{10^k}{3}+\frac{10}{30}-\frac{9}{30})\\ &=10(\frac{10^{k+1}+10^k+1}{3})-\frac{90}{30}\end{align}$$Demostrado.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Pues sí, está demostrado. Y no era del todo inmediato. Podemos hacerlo sin inducción, atacando directamente a la expresión
10^(k+1) + 10^k + 1 =
los números 10, 100, 1000, .... se puedenponer como 9, 99, 999... +1
[3(3333...3)+1] + [3(333...3) + 1] + 1 =
el primer paréntesis tiene k+1 treses y es segundo k
3(3333...3 + 333...3) + 3 =
3(3333...3 + 333...3 + 1)
Luego es múltiplo de 3
Y eso es todo.
