Vamos a comprobarlo con el teorema 5.4. Serán independientes si y solo si la función de densidad conjunta es el producto de las marginales.
Tenemos que tener cuidado con los límites de integración.
0 <= y1 <= +infinito
0 <= y2 <= y1
$$\begin{align}&f_1(y_1)=\int_0^{y_1}e^{-y_1}dy_2=\\ &\\ &\\ &\\ &[y_2e^{-y_1}]_0^{y_1}=y_1e^{-y_1}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &f2(y_2)=\int_0^{+\infty}e^{-y_1}dy_1 =\\ &\\ &\\ &-[e^{-y_1}]_0^{+\infty}=0+1 = 1\\ &\\ &\\ &f_1(y_1)f_2(y_2) = y_1e^{-y_1} \neq e^{-y_1}=f(y_1,y_2)\\ &\\ &\end{align}$$
No se cumple, luego son variables dependientes.
Y eso es todo.