Pregunta de calculo multivariable 1

Aquí tienes lo que dice la Wikipedia al respecto.

Perímetro de una elipse

Y esta es la integral elíptica de la que se habla el lo anterior

Integral elíptica

Tomemos la ecuación paramétrica de la elipse centrada en el origen

x(t) = a·cost

y(t) = b·sent

Usemos la fórmula para el cálculo de la longitud de un arco dado en coordenadas paramétricas

$$l =\int_a^b \sqrt{[x´(t)]^2+[y´(t)]^2}\;dt$$

Por simetrías podemos tomar la longitud del arco con t entre 0 y Pi/2 y multiplicarlo por 4

$$\begin{align}&l=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2sen^2t+b^2cos^2t} \;dt=\\ &\\ &\text {Suponemos } a\le b\;\; \text{  Si no, se gira la elipse}\\ &\\ &4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2sen^2t+b^2cos^2t+b^2sen^2t-b^2sen^2t} \;dt=\\ &\\ &4\int_0^{\pi/2}\sqrt{b^2-(b^2-a^2)sen^2t}\;dt=\\ &\\ &4b\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)^2sen^2t}\;dt=\\ &\\ &4bE\left( \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b} \right)\end{align}$$

Hemos conseguido poner la longitud en función de una integral elíptica y en el artículo de la integral elíptica puedes ver como conseguir aproximaciones

$$\begin{align}&l =2b\pi \left(1-\frac {b^2-a^2}{4b^2}-\frac{3(b^2-a^2)^2}{64b^4}-\frac{5(b^2-a^2)^3}{256b^6}-\frac{175(b^2-a^2)^4}{16384b^8-}-...\right)\\ &\\ &\end{align}$$

O se usa esa fórmula o se hace la integración con algún método numérico o se usa la fórmula que dice la wikipedia

$$l \approx\pi[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}$$

Vamos a hacerlo de las tres formas para la elipse con semiejes a=1 y b=2

Integración numérica con Máxima

4*quad_qags(sqrt(sin(t)^2+4*cos(t)^2), t, 0, %pi/2);

[9.688448220547677,3.4672706213552256*10^-10,84,0]

Fórmula simplificada

Pi(9-sqrt(35)) = 9.688421098

Formula de Taylor de la integral elíptica

primer nivel = 4pi = 12.566...

segundo nivel = 4pi(1- 3/16) = 13Pi/4=10.21017..

tercer nivel =4pi(1 - 3/16 - 27/1024) = 9.878836274

cuarto nivel =4pi(1 - 3/16 - 27/1024 - 135/16384) = 9.775292571

quinto nivel = 9.732823474

Resumiendo.

La fórmula simplificada de Ramanujan nos ha dado 5 cifras exactas y la fórmula de Taylor de la integral elíptica no parece que converja rápidamente, a lo mejor con muchas iteraciones servirá, pero sin el ordenador lo tenemos difícil de conseguir.

La integración numérica es eso, numérica, no da fórmulas sencillas si se aplica a formulas con letras. Pero dada una elipse concreta es lo mejor.

Y eso es todo.