¿Qué método se puede utilizar para resolver la integral de uno partido por el seno?
Qué método se puede utilizar para resolver la integral de uno partido por el seno de por, es decir, (1/senx)
Respuesta de hendrick217
2
Disculpa por haberte contestado hoy, es que los fines de semana casi no utilizo mi pc.
Bien esta integral es un tanto compleja de resolver, por ello me debes dar la puntuación máxima... je je es broma. :)
En verdad si es algo complicada, y me llevó algún tiempo de resolver. Leelo y analízalo detenidamente para que lo comprendas. Bien ahí va:
Primero deber transformar 1/senx a una identidad del doble ángulo. Sen(2x)=2*Sen(x)*Cos(x), pero como nuestra función no es Sen(2x), la función nos quedará así:
1/sen(x)*dx = 1/(2*sen(x/2)*cos(x/2))*dx.
Recuerda, queda como x/2 porque la identidad para el doble ángulo de (x), y no de (2x), da x/2.
Bien ahora viene lo enredado:
Tienes que tomar intencionalmete una variable, que le puedes llamar por ejemplo "t". El valor de t, será: t = Tan(x/2)
derivando esta variable, nos queda: dt/dx = (1/2)*Sec^2(x/2). Invirtiendo toda la función, nos queda:
dx/dt = 2/(Sec^2(x/2)) ó lo que es lo mismo:
dx/dt = 2*Cos^2(x/2).
Ahora guardas esta función un momento y nos ocuparemos de ella luego. Regresamos ahora al la función que estábamos tratando inicialmente:
1/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*dx
Ahora multiplicamos esta función por: dt/dt, y así no se altera la ecuación, puesto que estamos multiplicando y dividiendo por dt. Nos queda:
1/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*dx*dt/dt
Podemos rearreglar esta ecuación así:
1/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*(dx/dt)*dt
Ahora tomamos la ecuación que dejamos guardada hace un rato, y la reemplazamos en la ecuación que estamos trabajando:
1/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*(2*Cos^2(x/2))*dt
Reordenando:
2*Cos^2(x/2)/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*dt
Simplificamos los términos, nos queda:
Cos(x/2)/Sin(x/2) *dt
Aplicando identidad trigonométrica:
1/(Tan(x/2))*dt
Bien ahora recuerdas nuestra variable que tomamos intencionalmente al principio del problema. Aquella que era: t=tan(x/2), revisa arriba, si no recuerdas, bien ahora la podemos reemplazar en nuestra fórmula, y nos queda:
1/Tan(x/2)*dt queda: 1/t * dt
Y ahora sí, es pan comido. La integral de 1/t*dt = Ln(t)+c
Ahora reetplazamos otra vez nuesta funcion intencional:
= Ln(Tan(x/2) + c
Y ese es la repuesta a tu integral.
Algunos descomponen Tan(x/2) como sen(x/2)/Cos(x/2) y aplicando leyes de logaritmos, en la división, nos queda:
= Ln(Sen(x/2))-Ln(Cos(x/2)), esto lo puedes comprobar tú mismo.
Esta respuesta también es válida.
Bien, espero te haya servido. No olvides finalizar tu pregunta.
Bien esta integral es un tanto compleja de resolver, por ello me debes dar la puntuación máxima... je je es broma. :)
En verdad si es algo complicada, y me llevó algún tiempo de resolver. Leelo y analízalo detenidamente para que lo comprendas. Bien ahí va:
Primero deber transformar 1/senx a una identidad del doble ángulo. Sen(2x)=2*Sen(x)*Cos(x), pero como nuestra función no es Sen(2x), la función nos quedará así:
1/sen(x)*dx = 1/(2*sen(x/2)*cos(x/2))*dx.
Recuerda, queda como x/2 porque la identidad para el doble ángulo de (x), y no de (2x), da x/2.
Bien ahora viene lo enredado:
Tienes que tomar intencionalmete una variable, que le puedes llamar por ejemplo "t". El valor de t, será: t = Tan(x/2)
derivando esta variable, nos queda: dt/dx = (1/2)*Sec^2(x/2). Invirtiendo toda la función, nos queda:
dx/dt = 2/(Sec^2(x/2)) ó lo que es lo mismo:
dx/dt = 2*Cos^2(x/2).
Ahora guardas esta función un momento y nos ocuparemos de ella luego. Regresamos ahora al la función que estábamos tratando inicialmente:
1/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*dx
Ahora multiplicamos esta función por: dt/dt, y así no se altera la ecuación, puesto que estamos multiplicando y dividiendo por dt. Nos queda:
1/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*dx*dt/dt
Podemos rearreglar esta ecuación así:
1/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*(dx/dt)*dt
Ahora tomamos la ecuación que dejamos guardada hace un rato, y la reemplazamos en la ecuación que estamos trabajando:
1/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*(2*Cos^2(x/2))*dt
Reordenando:
2*Cos^2(x/2)/(2*Sen(x/2)*Cos(x/2))*dt
Simplificamos los términos, nos queda:
Cos(x/2)/Sin(x/2) *dt
Aplicando identidad trigonométrica:
1/(Tan(x/2))*dt
Bien ahora recuerdas nuestra variable que tomamos intencionalmente al principio del problema. Aquella que era: t=tan(x/2), revisa arriba, si no recuerdas, bien ahora la podemos reemplazar en nuestra fórmula, y nos queda:
1/Tan(x/2)*dt queda: 1/t * dt
Y ahora sí, es pan comido. La integral de 1/t*dt = Ln(t)+c
Ahora reetplazamos otra vez nuesta funcion intencional:
= Ln(Tan(x/2) + c
Y ese es la repuesta a tu integral.
Algunos descomponen Tan(x/2) como sen(x/2)/Cos(x/2) y aplicando leyes de logaritmos, en la división, nos queda:
= Ln(Sen(x/2))-Ln(Cos(x/2)), esto lo puedes comprobar tú mismo.
Esta respuesta también es válida.
Bien, espero te haya servido. No olvides finalizar tu pregunta.
